Punto isolato

In topologia generale, un punto isolato per un insieme ${\displaystyle S}$ è un punto che non ha altri punti di ${\displaystyle S}$ "vicini".

Definizione

Un punto ${\displaystyle x_{0}}$ appartenente ad un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ in uno spazio topologico è un punto isolato di ${\displaystyle S}$ se esiste un intorno di ${\displaystyle x_{0}}$ non contenente altri punti di ${\displaystyle S}$.

Spazio metrico o euclideo

In particolare, in uno spazio euclideo (o in uno spazio metrico), ${\displaystyle x_{0}}$ è un punto isolato di ${\displaystyle S}$ se esiste una palla aperta centrata in ${\displaystyle x_{0}}$ che non contiene nessun elemento di ${\displaystyle S}$ diverso da ${\displaystyle x_{0}}$.

Definizioni equivalenti

In modo equivalente, un punto ${\displaystyle x_{0}}$ di ${\displaystyle S}$ non è un punto isolato se e solo se ${\displaystyle x_{0}}$ è un punto di accumulazione per ${\displaystyle S}$.

Insieme discreto

Un insieme ${\displaystyle S}$ costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto.

Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto. Il viceversa è vero se lo spazio metrico è compatto e ${\displaystyle S}$ è chiuso: in uno spazio compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito.

Un sottoinsieme discreto in uno spazio non compatto può non essere finito, ma generalmente è numerabile: questo accade ad esempio nello spazio euclideo. D'altra parte, non è vero che ogni sottoinsieme numerabile dello spazio euclideo è discreto: ad esempio l'insieme ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei numeri razionali è numerabile ma non discreto.

Insieme perfetto

Un insieme chiuso senza punti isolati, costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Esempi

Ogni elemento di ${\displaystyle \mathbb {N} }$ è isolato in ${\displaystyle \mathbb {N} }$ infatti: Sia ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} \ }$ e sia ${\displaystyle I(n_{0},r)}$ un intorno di ${\displaystyle n_{0}}$ e di raggio ${\displaystyle r}$.
Allora dalla definizione abbiamo che ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} \ }$ è un punto isolato in ${\displaystyle \mathbb {N} \ \Leftrightarrow \ \exists \ r\in \mathbb {R} \ :I(n_{0},r)\cap \mathbb {N} \smallsetminus \!\left\{n_{0}\right\}=\varnothing }$.
Poiché per ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$ risulta che ${\displaystyle I(n_{0},r)\cap \mathbb {N} \smallsetminus \!\left\{n_{0}\right\}=\varnothing }$, deduciamo che ${\displaystyle n_{0}}$ è isolato.

Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.

• Per l'insieme ${\displaystyle S=\{0\}\cup [1,2]}$, il punto ${\displaystyle 0}$ è un punto isolato.

• Per l'insieme ${\displaystyle S=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\ldots \}}$, ciascun punto ${\displaystyle 1/k}$ è un punto isolato, tranne il punto ${\displaystyle 0}$ che non lo è perché esistono altri punti appartenenti all'insieme ${\displaystyle S}$ vicini a ${\displaystyle 0}$ quanto desiderato.

• L'insieme ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$ dei numeri naturali è un insieme discreto.

• L'insieme chiuso ${\displaystyle [a,b]}$ è un insieme perfetto.

Voci correlate

• Punto di accumulazione
• Insieme chiuso
• Frontiera (topologia)

Collegamenti esterni