Bouquet (topologia)

Bouquet tra due circonferenze.

In topologia, il bouquet di un insieme di spazi topologici è lo spazio che si ottiene "attaccando" tutti questi spazi per un punto.

Ad esempio, il bouquet di due circonferenze è una lemniscata, ovvero una figura a forma di otto. Un altro esempio è la rosa.

Definizione formale

Sia ${\displaystyle \{(X_{\alpha },\tau _{\alpha })\}_{\alpha \in A}}$ una famiglia di spazi topologici, e, per ogni ${\displaystyle \alpha }$, sia ${\displaystyle x_{\alpha }}$ un punto di ${\displaystyle X_{\alpha }}$; equivalentemente, si può considerare una famiglia di spazi topologici puntati ${\displaystyle \{(X_{\alpha },x_{\alpha })\}_{\alpha \in A}}$. Il bouquet di questa famiglia è il quoziente dell'unione disgiunta ${\displaystyle \coprod _{\alpha \in A}X_{\alpha }}$ tramite la relazione di equivalenza che identifica fra loro tutti i punti base.

Se gli spazi topologici sono omogenei, il loro bouquet non dipende dai punti base scelti. Possiamo quindi parlare ad esempio di bouquet di ${\displaystyle n}$ circonferenze o sfere senza dover menzionare punti base.

Proprietà

• Se gli spazi topologici iniziali ${\displaystyle X_{\alpha }}$ sono connessi o connessi per archi lo è anche il loro bouquet.
• Se gli spazi topologici iniziali sono compatti e l'insieme di indici è finito, anche il bouquet è compatto.
• Se gli spazi topologici iniziali sono sufficientemente buoni (ad esempio, se ogni punto base ha un intorno contraibile), allora il gruppo fondamentale del loro bouquet è il prodotto libero dei loro gruppi fondamentali.

Bibliografia

• (EN) Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0.