Spazio contraibile

Illustrazione di alcuni spazi contraibili e non contraibili. Gli spazi A, B e C sono contraibili; gli spazi D, E e F non lo sono.

In matematica, uno spazio contraibile è uno spazio topologico su cui la funzione identità è omotopicamente nulla, cioè è omotopa a qualche funzione costante.[1][2] Intuitivamente, uno spazio contraibile è uno spazio che può essere ridotto con continuità a un punto dello spazio stesso.

Proprietà

Uno spazio contraibile è uno spazio che ha lo stesso tipo di omotopia di un punto. Ne consegue che tutti i gruppi di omotopia di uno spazio contraibile sono banali. Pertanto, qualsiasi spazio con un gruppo di omotopia non banale non può essere contraibile. Allo stesso modo, poiché l'omologia singolare è un invariante di omotopia, i gruppi di omologia ridotta di uno spazio contraibile sono tutti banali.

Per uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ le seguenti affermazioni sono equivalenti:

• ${\displaystyle X}$ è contraibile (cioè la funzione identità è omotopicamente nulla);
• ${\displaystyle X}$ è omotopicamente equivalente a uno spazio di un punto;
• ${\displaystyle X}$ è un retratto per deformazione di un punto (tuttavia esistono spazi contraibili che non sono retratti per deformazione forti di un punto);
• per ogni spazio ${\displaystyle Y}$ connesso per archi, due qualsiasi funzioni ${\displaystyle f,g\colon Y\to X}$ sono omotope;
• per ogni spazio ${\displaystyle Y,}$ qualsiasi funzione ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ è omotopicamente nulla.

Il cono su uno spazio ${\displaystyle X}$ è sempre contraibile. Pertanto qualsiasi spazio può essere immerso in uno spazio contraibile (il che mostra anche che i sottospazi degli spazi contraibili non sono necessariamente contraibili).

Inoltre, ${\displaystyle X}$ è contraibile se e solo se esiste una retrazione dal cono di ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle X.}$

Ogni spazio contraibile è connesso per cammini e semplicemente connesso. Inoltre, poiché tutti i gruppi di omotopia superiori sono nulli, ogni spazio contraibile è n-connesso per ogni ${\displaystyle n\geq 0.}$

Spazi localmente contraibili

Uno spazio topologico è localmente contraibile se ogni punto ha una base locale di intorni contraibili. Gli spazi contraibili non sono necessariamente localmente contraibili né è vero il viceversa. Ad esempio lo spazio pettine è contraibile ma non localmente contraibile (se lo fosse, sarebbe localmente connesso, cosa che non è). Gli spazi localmente contraibili sono localmente ${\displaystyle n}$-connessi per ogni ${\displaystyle n\geq 0.}$ In particolare sono localmente semplicemente connessi, localmente connessi per cammini e localmente connessi.

Esempi e controesempi

• Qualsiasi spazio euclideo è contraibile, così come qualsiasi insieme stellato in uno spazio euclideo.
• La varietà di Whitehead è contraibile.
• Le sfere di qualsiasi dimensione finita non sono contraibili.
• La sfera unitaria in uno spazio di Hilbert di dimensione infinita è contraibile.
• La casa con due stanze è un esempio standard di spazio contraibile.
• Il cono sull'orecchino hawaiano è contraibile (poiché è un cono), ma non è localmente contraibile né localmente semplicemente connesso.
• Tutte le varietà differenziabili e i CW-complessi sono localmente contraibili, ma non contraibili in generale.
• La circonferenza di Varsavia si ottiene "chiudendo" la curva sinusoidale del topologo mediante un arco che collega ${\displaystyle (0,-1)}$ e ${\displaystyle (1,\sin(1)).}$ È uno spazio unidimensionale i cui gruppi di omotopia sono tutti banali ma non è contraibile.

Note

1. James R. Munkres, Topology, 2ndª ed., Prentice Hall, 2000, ISBN 0-13-181629-2.
2. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio contraibile / Spazio contraibile (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Spazio contraibile, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.