Teorema di Darboux

Il teorema di Darboux è un teorema dell'analisi matematica che prende il nome da Jean Gaston Darboux. Esso afferma che tutte le funzioni che risultano dalla derivazione di altre funzioni presentano la proprietà del valore intermedio: l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo.

È da notare che quando ${\displaystyle f}$ è differenziabile con derivata continua (cioè ${\displaystyle f\in C^{1}([a,b])}$) questo è implicitamente vero per il teorema dei valori intermedi, ma anche quando ${\displaystyle f'}$ non è continua il teorema di Darboux pone forti limiti alle sue variazioni.

Teorema di Darboux

Sia ${\displaystyle f\colon \left[a,b\right]\to \mathbb {R} }$ una funzione continua a valori reali in ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, che sia differenziabile in ${\displaystyle \left(a,b\right)}$. Allora ${\displaystyle f'}$ soddisfa la proprietà del valore intermedio: per ogni ${\displaystyle t}$ compreso tra ${\displaystyle f'\left(a\right)}$ e ${\displaystyle f'\left(b\right)}$, esiste qualche ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ tale per cui ${\displaystyle f'\!\left(x\right)=t}$.

Dimostrazione

Senza perdita di generalità si può supporre che ${\displaystyle f'_{+}(a)>t>f'_{-}(b)}$. Sia ${\displaystyle g(x)=f(x)-tx}$, allora ${\displaystyle g'(x)=f'(x)-t}$, quindi sostituendo, si ha ${\displaystyle g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)}$, e si vuole trovare uno zero di ${\displaystyle g'}$.

Siccome ${\displaystyle g}$ è una funzione continua in ${\displaystyle [a,b]}$, per il teorema di Weierstrass possiede un massimo in ${\displaystyle [a,b]}$, ma questo massimo non può trovarsi in ${\displaystyle a}$, poiché ${\displaystyle g'_{+}(a)>0}$, quindi ${\displaystyle g(x)>g(a)}$ in un intorno destro di ${\displaystyle a,}$ e in modo del tutto simile non può trovarsi in ${\displaystyle b}$, poiché ${\displaystyle g'_{-}(b)<0}$, quindi ${\displaystyle g(x)>g(b)}$ in un intorno sinistro di ${\displaystyle b}$. Pertanto il massimo deve stare in un punto ${\displaystyle c}$ compreso in ${\displaystyle (a,b)}$ tale che ${\displaystyle g'(c)=0}$ per il teorema di Fermat sui punti stazionari, da cui la tesi.

Voci correlate

• Jean Gaston Darboux
• Teorema dei valori intermedi

Collegamenti esterni

• (EN) William L. Hosch, Darboux’s theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.