In analisi matematica, la classe
di una funzione di variabile reale indica l'appartenenza della stessa all'insieme delle funzioni derivabili con continuità per un certo numero di volte. Si dice che una funzione definita su un insieme
è di classe
se in
esistono tutte le derivate fino al
-esimo ordine, e la
-esima è continua (quando la funzione è continua si dice che è di classe
). Si tratta, sostanzialmente, dello spazio delle funzioni differenziabili. Il sottoinsieme delle funzioni le cui prime
derivate sono limitate è uno spazio vettoriale.
La derivabilità rispetto ad una variabile garantisce la continuità della funzione rispetto a tale variabile, sicché lo spazio
delle funzioni differenziabili con continuità sul campo reale è contenuto nello spazio
delle funzioni continue. In generale,
è contenuto in
per ogni
.
Di particolare importanza è l'insieme
delle funzioni lisce, tra le quali vi sono i polinomi, e l'insieme
delle funzioni analitiche, definite come le funzioni lisce che sono uguali alla loro espansione in serie di Taylor attorno ad ogni punto del dominio.
Definizione
Sia
un sottoinsieme aperto di
e
. Una funzione di variabile reale
si dice di classe
se in ogni punto di
esistono tutte le derivate parziali di
fino al
-esimo ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue. L'insieme delle funzioni di classe
da
in
si indica generalmente con
; inoltre, è consuetudine porre anche
. Se
, si ha perciò che
se e solo se
![{\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{r}}}\in C^{k-1}(A)\qquad \forall r=1,\ldots ,m,\quad \forall i=1,\ldots ,n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da9a93e4e9a7eef16f35ab0e8cd9ea60b56ea39)
dove
indica la proiezione di
sulla
-esima componente: formalmente, se per ogni
poniamo
,
si ha
.
Inoltre, per la convenzione secondo cui l'unica derivata parziale di
di ordine
è
stessa, segue direttamente dalla definizione che
se e solo se
è continua. Chiaramente, per ogni
risulta
.
Una funzione
si dice poi di classe
(o liscia) se in ogni punto di
esistono tutte le derivate parziali di
di qualsiasi ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue; in altre parole,
è liscia se e solo se
per ogni
. L'insieme delle funzioni lisce da
in
si indica generalmente con
. Evidentemente si ha
.
Una funzione liscia
si dice di classe
(o analitica) se per ogni
esiste un intorno
di
in
tale che
per ogni
, ove
denota lo sviluppo di Taylor di
centrato in
. L'insieme delle funzioni analitiche da
in
si indica con
.
È possibile fornire esempi di funzioni lisce ma non analitiche.
L'insieme di definizione
Particolare attenzione bisogna rivolgere all'insieme
su cui è definita la funzione. Nella definizione di derivata il punto in cui si calcola il limite viene preso interno ad
(oppure
viene considerato aperto, cosicché tutti i suoi punti siano interni), poiché nei punti di frontiera l'operazione di limite si può applicare solo in modo parziale (solo da alcune "direzioni" e non da altre). Per questo motivo, se
non è un aperto, l'affermazione
deve essere ulteriormente specificata. Non c'è un'unica versione accettata di tale generalizzazione: solitamente si assicura l'esistenza della derivata anche nei punti del bordo e si richiede che tale derivata si riallacci in modo sufficientemente "regolare" a quella nei punti interni. Ad esempio, ci si può "appoggiare" alla definizione precedente, data nel caso in cui il dominio sia un aperto, nel modo seguente: diciamo che
è di classe
, ovvero
, se e solo se esiste un aperto
contenente
e una funzione
che estende
, cioè tale che
.
Lo spazio delle funzioni Ck
Dal punto di vista dell'analisi funzionale, se
è un insieme compatto in
(
naturale), lo spazio
delle funzioni definite in
a valori reali (o complessi) di classe
è uno spazio vettoriale; con la norma (norma lagrangiana di ordine
)
![{\displaystyle \|f\|_{C^{k}(\Omega )}={\begin{cases}\max _{\Omega }|f|&{\text{ se }}k=0\\\|f\|_{C^{0}(\Omega )}+\sum _{|\alpha |=1}^{k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }f\|_{C^{0}(\Omega )}&{\text{ se }}k>0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4994b791523bf6b26e1c9478bc5a6f4d9828600a)
risulta essere uno spazio di Banach;
è la derivata
-esima di
espressa nella notazione multi-indice.
Esempi
- L'esponenziale
è una funzione di classe
, in quanto ha ogni derivata uguale a sé stessa:
per ogni
; più precisamente,
è una funzione analitica.
- L'identità
è di classe
, in quanto ha derivata prima costante uguale a
e ogni derivata successiva costante uguale a
. Più precisamente, è una funzione analitica, come ogni altra funzione polinomiale da
in sé.
- La tangente è una funzione di classe
, cioè in tutto il suo insieme di definizione.
- La funzione
è di classe
; essa appartiene a
, in quanto in
non è derivabile.
- La funzione
è di classe
se
.
Bibliografia
- Cartan, H. Cours de calcul différentiel, nouv. éd., refondue et corr. Paris: Hermann, 1977.
- S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1
Voci correlate
Collegamenti esterni