Continuità uniforme

In matematica, in particolare in analisi matematica, una funzione uniformemente continua è una particolare funzione continua. Intuitivamente, una funzione ${\displaystyle f}$ è uniformemente continua se una piccola variazione del punto ${\displaystyle x}$ comporta una piccola variazione dell'immagine ${\displaystyle f(x)}$ (quindi ${\displaystyle f}$ è continua), e la misura della variazione di ${\displaystyle f(x)}$ dipende solo dalla misura della variazione di ${\displaystyle x}$, ma non dal punto ${\displaystyle x}$ stesso.

La continuità uniforme è quindi una proprietà globale della funzione, contrariamente alla continuità semplice, che è una proprietà locale. Infatti, quando si dice che una funzione è continua, si intende semplicemente che è continua in ogni punto del suo dominio; non ha invece alcun senso affermare che una funzione è uniformemente continua in un punto.

Definizione

Nel caso specifico di una funzione ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$, dove ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ è un intervallo, si dice che ${\displaystyle f}$ è uniformemente continua se per ogni numero reale ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste un numero reale ${\displaystyle \delta >0}$ tale che per ogni ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in I}$ con ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$ (cioè "sufficientemente vicini l'uno all'altro") si ha[1]

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$

Diversamente dalla continuità semplice la distanza ${\displaystyle \delta }$ dipende quindi unicamente dalla distanza ${\displaystyle \varepsilon }$ e non dal punto ${\displaystyle x_{1}}$ o ${\displaystyle x_{2}}$.

La definizione di cui sopra si può immediatamente generalizzare ad arbitrari spazi metrici: dati due spazi metrici ${\displaystyle (X,d_{X})}$ e ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$, si dice che una funzione ${\displaystyle f:X\to Y}$ è uniformemente continua se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste un ${\displaystyle \delta >0}$ tale che, comunque scelti due punti ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ che soddisfano ${\displaystyle d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta }$, allora si ha:[2]

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon }$

Esempi

Grafico della funzione ${\displaystyle \sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$, che non è uniformemente continua in ${\displaystyle (0,1]}$.

La funzione costante, l'identità o una qualsiasi funzione lineare sono funzioni uniformemente continue; altri esempi sono le funzioni derivabili in un insieme convesso la cui derivata è limitata (ad esempio le funzioni seno e coseno).

Al contrario, i polinomi di grado maggiore di ${\displaystyle 1}$ non sono funzioni uniformemente continue sull'intera retta reale, sebbene lo siano sugli insiemi limitati: data ad esempio la funzione ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, infatti, per ogni ${\displaystyle \delta >0}$ la differenza:

${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=(x+\delta )^{2}-x^{2}=2\delta x+\delta ^{2}}$

tende ad infinito per ${\displaystyle x\to \pm \infty }$.

Un analogo ragionamento può essere usato per dimostrare che la funzione ${\displaystyle f(x)=1/x}$ non è uniformemente continua nell'intervallo ${\displaystyle (0,1]}$, mostrando che funzioni continue su un insieme limitato non sono necessariamente uniformemente continue. Neppure aggiungendo l'ipotesi che la funzione sia limitata si ottengono funzioni uniformemente continue: ad esempio la funzione ${\displaystyle f(x)=\sin(1/x)}$ (sempre nell'intervallo ${\displaystyle (0,1]}$) non è uniformemente continua, perché in ogni intervallo ${\displaystyle (0,\delta )}$ si possono trovare ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in I}$ tali che ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|=2}$.

Condizioni sufficienti per la continuità uniforme

Il teorema di Heine-Cantor afferma che le funzioni continue su un insieme compatto (in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ un insieme chiuso e limitato) sono uniformemente continue su tale insieme compatto;[2] il teorema può essere esteso a comprendere anche insiemi non compatti, purché la funzione tenda (per ${\displaystyle x\to \pm \infty }$) ad un limite finito oppure ammetta un asintoto obliquo.

Inoltre, ogni funzione lipschitziana ${\displaystyle f}$ è uniformemente continua: dato ${\displaystyle \varepsilon >0}$, si può scegliere ${\displaystyle \delta :={\frac {\varepsilon }{K}}}$, dove ${\displaystyle K>0}$ è una costante di Lipschitz di ${\displaystyle f}$. La lipschizianità è una condizione sufficiente ma non necessaria per l'uniforme continuità (si veda il seguente esempio).

Esempio

Si prenda ${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{3}}}$. Essa non è lipschitziana in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ma lo è in qualunque insieme del tipo ${\displaystyle \left(-\infty ,-a)\cup (a,+\infty \right)}$, con ${\displaystyle a>0}$ (la sua derivata, infatti, si mantiene in questo caso limitata, il che è sufficiente per la lipschitzianità). Pertanto, ${\displaystyle f(x)}$ è uniformemente continua in questi intervalli.

D'altra parte, attorno a ${\displaystyle 0}$ (ossia in un intervallo del tipo ${\displaystyle \left[-a,a\right]}$, complementare degli intervalli suddetti), si può garantire l'uniforme continuità di ${\displaystyle f(x)}$ (continua e definita in un compatto).

Combinando questi risultati, otteniamo che ${\displaystyle f(x)}$ è uniformemente continua in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, pur non essendo lipschitziana.

Altre proprietà

Una funzione uniformemente continua in un insieme ${\displaystyle X}$ lo è anche in ogni sottoinsieme ${\displaystyle E\subseteq X}$; non vale il viceversa (ad esempio, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ è uniformemente continua in ogni intervallo limitato ma non negli intervalli illimitati).

L'immagine di un intervallo limitato attraverso una funzione uniformemente continua è limitato.

Note

1. E. Giusti, p. 155.
2. P. M. Soardi, pp. 186-187.

Bibliografia

• Enrico Giusti, Analisi matematica 1, terza, Bollati Boringhieri, 2002, ISBN 88-339-5684-9.
• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, 1998, ISBN 88-207-2819-2.
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-2675-0.
• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.
• (EN) Nicolas Bourbaki, General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale], ISBN 0-387-19374-X. Chapter II is a comprehensive reference of uniform spaces.
• (EN) Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis, Academic Press, 1960.
• (EN) Patrick Fitzpatrick, Advanced Calculus, Brooks/Cole, 2006, ISBN 0-534-92612-6.
• (EN) John L. Kelley, General topology, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1955, ISBN 0-387-90125-6.
• (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, New York, McGraw-Hill, 1976, ISBN 978-0-07-054235-8.

Voci correlate

• Funzione continua
• Funzione lipschitziana
• Spazio uniforme
• Teorema di Heine-Cantor

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Continuità uniforme, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) L.D. Kudryavtsev, Uniform continuity, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.