Integrale di linea di prima specie

Integrale di linea di una funzione di due variabili.

In analisi matematica e calcolo integrale, un integrale di linea di prima specie è un integrale di una funzione reale o complessa di una o più variabili reali, cioè di un campo scalare, lungo una curva.

Per le funzioni reali di una variabile (reale o complessa), la definizione e il calcolo coincidono con quella di integrale definito e integrale complesso. Nel seguito si espone il caso di integrazione curvilinea di funzioni reali di due o tre variabili, con immediate estensioni ad un numero qualsiasi di variabili.

L'analogo integrale di funzioni vettoriali è l'integrale di linea di seconda specie.

La curva regolare

Una curva, in forma parametrica, è una funzione vettoriale di una sola variabile ${\displaystyle \phi (t):I=[a,b]\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3}}$ del tipo:

${\displaystyle \phi (t)=(\phi _{1}(t),\phi _{2}(t),\phi _{3}(t))}$

Si può scrivere anche:

${\displaystyle \phi (t):{\begin{cases}x=\phi _{1}(t)\\y=\phi _{2}(t)\\z=\phi _{3}(t)\end{cases}}}$

La variabile ${\displaystyle t\in I}$ si chiama parametro. Una curva è una funzione di classe ${\displaystyle C^{1}}$ in un intervallo se le funzioni ${\displaystyle \phi _{1}(t)\ }$, ${\displaystyle \phi _{2}(t)\ }$ e ${\displaystyle \phi _{3}(t)\ }$ hanno derivate continue in tale intervallo. Una curva ${\displaystyle C^{1}\ }$ si dice regolare in un punto ${\displaystyle t_{0}\ }$ se:

${\displaystyle \phi '(t_{0})=(\phi '_{1}(t_{0}),\phi '_{2}(t_{0}),\phi '_{3}(t_{0}))\neq (0,0,0)}$

e regolare in ${\displaystyle I\ }$ se ciò vale in ogni punto di ${\displaystyle I\ }$. Un punto in cui si abbia ${\displaystyle \phi '(t_{0})=(0,0,0)}$ si dice punto singolare per la curva.

Una curva nello spazio si dice semplice se non si interseca con se stessa, ovvero se per ogni ${\displaystyle t_{1}\neq t_{2}\in I}$ si ha ${\displaystyle \phi (t_{1})\neq \phi (t_{2})}$. La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva, che è la retta parallela al vettore:

${\displaystyle \phi '(t_{0})=(\phi '_{1}(t_{0}),\phi '_{2}(t_{0}),\phi '_{3}(t_{0}))}$

Tale vettore è detto vettore tangente di lunghezza ${\displaystyle \lVert \phi '(t_{0})\rVert }$, ed è indicato pure con ${\displaystyle {\vec {T}}(t_{0})}$. Il versore tangente è inoltre il vettore di lunghezza unitaria:

${\displaystyle {\hat {T}}(t_{0})={\frac {\phi '(t_{0})}{\lVert \phi '(t_{0})\rVert }}}$

Data la rappresentazione parametrica della curva regolare, è possibile anche calcolarne la lunghezza:

${\displaystyle {\mbox{lungh}}(\phi )=\int _{a}^{b}\lVert \phi '(t)\rVert \;\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\sqrt {\phi '_{1}(t)^{2}+\phi '_{2}(t)^{2}+\phi '_{3}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t}$

Il calcolo dell'integrale

Se si ha una funzione ${\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$ di tre variabili e una curva ${\displaystyle \Gamma \ }$ definita in ${\displaystyle A}$ con rappresentazione parametrica ${\displaystyle \phi :[a,b]\to \mathbb {R} ^{3}}$:

${\displaystyle \phi (t)={\begin{cases}x=\phi _{1}(t)\\y=\phi _{2}(t)\\z=\phi _{3}(t)\end{cases}}}$

con ${\displaystyle t\in [a,b]\subseteq \mathbb {R} }$, si definisce nel modo seguente l'integrale della funzione lungo la curva. Si consideri una partizione qualsiasi ${\displaystyle a=t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}=b}$, a cui si associano i punti ${\displaystyle P_{0}=\phi (t_{0}),P_{1}=\phi (t_{1}),\dots ,P_{n}=\phi (t_{n})}$. Tali punti dividono la curva in tanti archi ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{n}}$. In corrispondenza di ognuno di tali archi si sceglie un generico punto appartenente all'arco i-esimo ${\displaystyle Q_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$ e si costruiscono le somme integrali:

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i},z_{i}){\mbox{lungh}}(\gamma _{i})}$

dove la ${\displaystyle {\mbox{lungh}}(\gamma _{i})\ }$ è la lunghezza definita precedentemente. Se esiste il limite per ${\displaystyle \max _{i}(t_{i}-t_{i-1})\to 0}$ delle somme integrali, cioè per ogni intervallo ${\displaystyle (t_{i}-t_{i-1})}$ che diventa infinitesimo (ovvero, equivalentemente, per ${\displaystyle n\to \infty }$), allora il valore di tale limite si chiama integrale curvilineo di prima specie della funzione ${\displaystyle f(x,y,z)}$ lungo la curva ${\displaystyle \Gamma }$ e lo si indica solitamente con:

${\displaystyle \int _{\Gamma }f(x,y,z)\,\mathrm {d} s}$

Se la curva è regolare allora ${\displaystyle \mathrm {d} s\ }$ è l'elemento infinitesimo di lunghezza come nella definizione di lunghezza della curva, e si può esplicitare l'integrale:

${\displaystyle \int _{\Gamma }f(x,y,z)\,\mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f(\phi (t))\lVert \phi '(t)\rVert \,\mathrm {d} t}$

dove ${\displaystyle f(\phi (t))=f(\phi _{1}(t),\phi _{2}(t),\phi _{3}(t))}$ significa esprimere la funzione in termini della parametrizzazione data in precedenza.

Nel caso in cui la curva è piana la funzione non dipende dalla variabile ${\displaystyle z}$ e allora la precedente relazione si trasforma:

${\displaystyle \int _{\Gamma }f(x,y)\,\mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f(\phi _{1}(t),\phi _{2}(t))\lVert \phi '(t)\rVert \,\mathrm {d} t}$

L'integrale di linea così descritto è indipendente dalla rappresentazione parametrica (e non dipende dalla scelta dei punti ${\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i})\ }$ né dalla partizione scelta per il calcolo del limite delle somme integrali). A differenza degli integrali di seconda specie (che riguardano i campi vettoriali) questo tipo di integrale non dipende nemmeno dall'orientazione della curva. Banalmente, se la funzione ${\displaystyle f=1}$ il calcolo di questo integrale curvilineo si riconduce al calcolo della lunghezza della curva.

Proprietà dell'integrale di prima specie

Valgono le proprietà tipiche degli integrali: linearità, additività e monotonia.

Si ha inoltre:

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f\,\mathrm {d} s\right|\leq \int _{\Gamma }\left|f\right|\,\mathrm {d} s\leq \max _{\Gamma }\left|f\right|\cdot {\mbox{lungh}}(\Gamma )}$

Applicazioni geometriche e fisiche

Una proprietà usata in fisica e in geometria è il calcolo del baricentro di una curva (che può essere materiale): esso è definito dal calcolo dalle coordinate:

${\displaystyle x_{B}={\frac {1}{{\mbox{lungh}}(\Gamma )}}\int _{\Gamma }x\,\mathrm {d} s}$

${\displaystyle y_{B}={\frac {1}{{\mbox{lungh}}(\Gamma )}}\int _{\Gamma }y\,\mathrm {d} s}$

${\displaystyle z_{B}={\frac {1}{{\mbox{lungh}}(\Gamma )}}\int _{\Gamma }z\,\mathrm {d} s}$

Bibliografia

• (EN) Krantz, S. G. The Complex Line Integral. §2.1.6 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 22, 1999.

Voci correlate

• Curva nello spazio
• Integrale di linea
• Integrale di linea di seconda specie
• Integrazione complessa

Collegamenti esterni

• batmath.it.