Matrice hessiana

In analisi matematica, la matrice hessiana di una funzione di ${\displaystyle n}$ variabili a valori in un campo di scalari, anche detta matrice di Hesse o semplicemente hessiana (o ultragradiente), è la matrice quadrata ${\displaystyle n\times n}$ delle derivate parziali seconde della funzione. Il nome è dovuto a Ludwig Otto Hesse.

Definizione

Data una funzione reale di ${\displaystyle n}$ variabili reali ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, se tutte le sue derivate parziali seconde esistono allora si definisce matrice hessiana della funzione ${\displaystyle f}$ la matrice ${\displaystyle \operatorname {H} f(\mathbf {x} )}$ data da:

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {H} _{f}={\begin{bmatrix}\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\\\\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}},\qquad (\operatorname {H} f)_{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}},}$

cui si associa l'operatore:

${\displaystyle \operatorname {H} _{ij}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.}$

L'hessiana di fatto rappresenta la jacobiana del gradiente, sinteticamente:

${\displaystyle \operatorname {H} =\operatorname {J} \cdot \nabla .}$

Derivate miste e simmetria dell'hessiana

Gli elementi fuori dalla diagonale principale nell'hessiana sono le derivate miste della funzione ${\displaystyle f}$. Con opportune ipotesi, vale il teorema seguente:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right).}$

Questa uguaglianza si scrive anche come:

${\displaystyle \partial _{xy}f=\partial _{yx}f.}$

In termini formali: se tutte le derivate seconde di ${\displaystyle f}$ sono continue in una regione ${\displaystyle \Omega }$, allora l'hessiana di ${\displaystyle f}$ è una matrice simmetrica in ogni punto di ${\displaystyle \Omega }$. La veridicità di questa affermazione è nota come teorema di Schwarz.

Punti critici e discriminante

Se il gradiente della funzione ${\displaystyle f}$ è nullo in un punto ${\displaystyle \mathbf {x} }$ appartenente al dominio della funzione, allora ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ha un punto critico. Il determinante dell'hessiana (detto semplicemente hessiano) in ${\displaystyle \mathbf {x} }$ è anche detto discriminante in ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Se questo determinante è zero allora ${\displaystyle \mathbf {x} }$ è chiamato punto critico degenere della ${\displaystyle f}$. Negli altri punti viene chiamato non degenere.

Test per la derivata seconda

Il seguente criterio può essere applicato in un punto critico ${\displaystyle \mathbf {x} }$ non degenere:

• se l'hessiana è una matrice definita positiva in ${\displaystyle \mathbf {x} }$, allora ${\displaystyle f}$ ha un minimo locale in ${\displaystyle \mathbf {x} }$;

• se l'hessiana è una matrice definita negativa in ${\displaystyle \mathbf {x} }$, allora ${\displaystyle f}$ ha un massimo locale in ${\displaystyle \mathbf {x} }$;

• se l'hessiana ha almeno due autovalori di segno opposto allora ${\displaystyle \mathbf {x} }$ è un punto di sella per ${\displaystyle f}$.

Altrimenti il test è inconclusivo. Si noti che per hessiane semidefinite positive e semidefinite negative il test è inconclusivo. Quindi, possiamo vedere di più dal punto di vista della teoria di Morse.

Tenuto conto di quanto è stato appena detto, il test per le derivate seconde per funzioni di una e due variabili sono semplici.

In una variabile, l'hessiana contiene appena una derivata seconda:

• se questa è positiva allora ${\displaystyle x}$ è un minimo locale, se questa è negativa allora ${\displaystyle x}$ è un massimo locale;

• se questa è zero allora il test è inconclusivo.

In due variabili, può essere usato il determinante, perché è il prodotto degli autovalori:

• se questo è positivo allora gli autovalori sono entrambi positivi, o entrambi negativi;

• se questo è negativo allora i due autovalori hanno differente segno;

• se questo è zero, allora il test della derivata seconda è inconclusivo.

Funzioni a valori vettoriali

Se ${\displaystyle f}$ è invece una funzione a valori vettoriali, cioè se

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},}$

allora il vettore delle derivate parziali seconde non è una matrice, ma un tensore di rango 3.

Bibliografia

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-2675-0.
• (EN) Binmore e Davies, Calculus Concepts and Methods, Cambridge University Press, 2007, p. 190.

Voci correlate

• Derivata parziale
• Derivata mista
• Glossario sulle matrici
• Gradiente
• Matrice jacobiana

Collegamenti esterni

• matrice hessiana, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice hessiana, su MathWorld, Wolfram Research.