Disuguaglianza di Minkowski

In matematica, la disuguaglianza di Minkowski è una disuguaglianza che porta il nome di Hermann Minkowski. Segue dalla disuguaglianza di Hölder.

La disuguaglianza

Sia ${\displaystyle \Omega }$ uno spazio di misura con misura ${\displaystyle \mu }$, e sia ${\displaystyle p\geq 1}$. Allora, se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono funzioni misurabili in ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ si ha:[1]

${\displaystyle \left(\int _{\Omega }(f+g)^{p}d\mu \right)^{1 \over p}\leq \left(\int _{\Omega }f^{p}d\mu \right)^{1 \over p}+\left(\int _{\Omega }g^{p}d\mu \right)^{1 \over p}}$

In modo equivalente:

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$

Attraverso quest'ultima formulazione, la disuguaglianza di Minkowski si generalizza al caso ${\displaystyle p=\infty }$. Dalla disuguaglianza di Minkowski segue che ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ è uno spazio normato, in quanto vale la disuguaglianza triangolare. In particolare, ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ è uno spazio di Banach per ogni ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$. Nel caso in cui lo spazio di misura sia l'insieme dei naturali ${\displaystyle \mathbb {N} }$ con la misura del conteggio ${\displaystyle \mu (A)=\#A}$, allora per ogni coppia di successioni ${\displaystyle (a_{i})_{i\geq 1}}$ e ${\displaystyle (b_{i})_{i\geq 1}}$ in ${\displaystyle l^{p}(\mathbb {N} )}$ la disuguaglianza di Minkowski si scrive:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{\infty }|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$

Minkowski per gli integrali

Siano ${\displaystyle (X,{\mathcal {M}},\mu )}$ e ${\displaystyle (Y,{\mathcal {N}},\nu )}$ due spazi di misura ${\displaystyle \sigma }$-finiti, e sia ${\displaystyle f}$ una funzione ${\displaystyle ({\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {N}})}$-misurabile. Se ${\displaystyle f\geq 0}$, allora per ogni ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$

${\displaystyle \left(\int \left(\int f(x,y)d\nu (y)\right)^{p}d\mu (x)\right)^{1 \over p}\leq \int \left(\int f(x,y)^{p}d\mu (y)\right)^{1 \over p}d\nu (x)}$

In particolare, da ciò ne consegue che se ${\displaystyle f(\cdot ,y)\in L^{p}(\mu )}$ per quasi ogni ${\displaystyle y\in Y}$, con ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$, e se la funzione ${\displaystyle y\mapsto \Vert f(\cdot ,y)\Vert _{p}}$ sta in ${\displaystyle L^{1}(\nu )}$, allora

${\displaystyle \left\Vert {\int f(\cdot ,y)d\nu (y)}\right\Vert _{p}\leq \int \Vert f(\cdot ,y)\Vert _{p}\,d\nu (y)}$

Note

1. W. Rudin, Pag. 62.

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) G. H. Hardy, J. E. Littlewood; G. Pólya, Inequalities, Cambridge, Cambridge Mathematical Library, 1952, ISBN 0-521-35880-9.

Voci correlate

• Disuguaglianza di Hölder
• Distanza di Minkowski

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Disuguaglianza di Minkowski, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) M.I. Voitsekhovskii, Minkowski inequality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.