Funzione costante

Il grafico di una funzione costante reale è una retta orizzontale

In matematica una funzione costante (a volte anche chiamata collasso) è una funzione i cui valori non variano, e rimangono quindi costanti al variare della variabile indipendente nel suo dominio.

Definizione

Una funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ tra due insiemi è costante se e solo se esiste un ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle Y}$ per cui ${\displaystyle f(x)=y}$ per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$. La funzione ${\displaystyle f}$ assume cioè lo stesso valore ${\displaystyle y}$ su tutti gli ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$.

Ad esempio, la funzione ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ definita sui numeri reali data da ${\displaystyle f(x)=4}$ (indipendentemente da ${\displaystyle x}$) è costante.

In termini più astratti, una funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è costante se e solo se vale la seguente proprietà universale:

• per ogni coppia di funzioni ${\displaystyle g,h\colon Z\to X}$, vale ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$, (dove "${\displaystyle \circ }$" denota la composizione di funzioni).

Questa proprietà dice che la funzione costante è un morfismo costante nella categoria delle funzioni.

Proprietà

Funzione costante tra due insiemi

• La composizione di una qualsiasi funzione con una funzione costante è costante.
• Una funzione costante tra due insiemi, entrambi con almeno due punti, non è né iniettiva né suriettiva.
• Una funzione polinomiale da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è costante se e solo se il polinomio ha grado zero.
• Se ${\displaystyle I}$ è un intervallo e ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ è derivabile, è costante se e solo se ha derivata ovunque nulla.
• Ogni funzione costante fra spazi topologici è continua.

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione costante / Funzione costante (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.