Teorema di Darboux (geometria)

In geometria, in particolare in geometria simplettica, il teorema di Darboux è un importante risultato da cui discende il fatto che due qualsiasi varietà simplettiche della stessa dimensione sono localmente simplettomorfe, ed in particolare sono simplettomorfe a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ con la forma simplettica standard ${\displaystyle \omega _{0}}$.[1][2]

Il teorema

Sia ${\displaystyle (M,\omega )}$ una varietà simplettica, e sia ${\displaystyle p\in M}$ un punto su di essa. Allora, esiste una carta locale definita in un intorno ${\displaystyle U_{0}}$ di ${\displaystyle p}$,

${\displaystyle (U_{0};x^{1},\dots ,x^{n},y_{1},\dots ,y_{n})}$

tale che su ${\displaystyle U_{0}}$

${\displaystyle \omega _{0}=\sum _{i=1}^{n}d{x_{i}}\wedge d{y_{i}}}$

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema si applica il teorema relativo di Moser sulla sottovarietà ${\displaystyle X=\{P\}}$ con

${\displaystyle i:X\hookrightarrow M\qquad P\mapsto p}$

Scegliendo una qualsiasi base simplettica per ${\displaystyle T_{p}M}$ si possono definire le coordinate

${\displaystyle ({\tilde {x}}_{1},\dots ,{\tilde {x}}_{n},{\tilde {y}}_{1},\dots ,{\tilde {y}}_{n})}$

in un qualche intorno ${\displaystyle U_{1}}$ di ${\displaystyle p}$ tali che

${\displaystyle \omega _{1}|_{p}=\sum _{i}d{{\tilde {x}}_{i}}\wedge d{{\tilde {y}}_{i}}|_{p}}$

Il teorema relativo di Moser assicura l'esistenza di un diffeomorfismo ${\displaystyle \phi :U_{0}\to U_{1}}$ tale che

${\displaystyle \phi ^{*}\omega _{1}=\omega _{0}}$

Ora, dal momento che

${\displaystyle \phi ^{*}\omega _{1}=\phi ^{*}\left(\sum _{i}d{{\tilde {x}}_{i}}\wedge d{{\tilde {y}}_{i}}\right)=\sum _{i}d{({\tilde {x}}_{i}\circ \phi )}\wedge d{({\tilde {y}}_{i}\circ \phi )}}$

è sufficiente scegliere come coordinate ${\displaystyle x_{i}={\tilde {x}}_{i}\circ \phi }$ e ${\displaystyle y_{i}={\tilde {y}}_{i}\circ \phi }$.

Conseguenze

Come conseguenza del teorema di Darboux si può affermare che localmente le varietà simplettiche di una stessa dimensione sono tutte isomorfe a ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega _{0})}$. Pertanto, se si dimostra una certa proprietà locale su ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega _{0})}$ che sia invariante per simplettomorfismi , allora questa sarà valida su ogni varietà simplettica di dimensione ${\displaystyle 2n}$.

A differenza delle varietà riemanniane, che si possono classificare localmente tramite la curvatura, le varietà simplettiche non ammettono invarianti locali.

Note

1. Lectures on Symplectic Geometry, Ana Cannas da Silva (PDF), su people.math.ethz.ch.
2. Franco Cardin, Elementary symplectic topology and mechanics, Springer, 2015.