กฎการหาอนุพันธ์

บทความนี้เป็นการสรุปสูตรและกฎการหาอนุพันธ์ หรือกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในแคลคูลัส

กฎการหาอนุพันธ์เบื้องต้น

ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริง (R) ที่ให้ค่าจริง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว สูตรด้านล่างนี้จะใช้ได้ทุกเมื่อที่มีการนิยามไว้อย่างรัดกุม[1][2] รวมถึงกรณีของจำนวนเชิงซ้อน (C) ด้วย[3]

กฎพจน์ค่าคงที่

สำหรับฟังก์ชั่น ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ และจำนวนจริง ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}$ ในส่วน ${\displaystyle x}$ คือ${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x)}$

การพิสูจน์

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(c)-(c)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}0\\&=0\end{aligned}}}$

บทพิสูจน์แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ใดๆ เป็น 0

คำอธิบายททางเรขาคณิต

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด ๆ หนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดนั้น ความชันของฟังก์ชันคงที่เป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสของฟังก์ชันคงที่เป็นแนวนอนและมุมเป็นศูนย์

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือค่าของฟังก์ชันคงที่ y จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้นหรือลดลง

ในแต่ละจุดอนุพันธ์คือความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดนั้น หมายเหตุ อนุพันธ์ที่จุด A เป็นค่าบวก โดยแสดงเป็นเส้นสีเขียวประ–ค่าลบเป็นเส้นสีแดงประ และ เป็นศูนย์ เมื่อเป็นเส้นสีดำทึบ

การหาอนุพันธ์เป็นเชิงเส้น

บทความหลัก: ความเป็นเชิงเส้นของอนุพันธ์

สำหรับฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ และจำนวนจริง ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}$ ที่ส่วน ${\displaystyle x}$ คือ ${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x)}$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

$${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}}$$

กรณีพิเศษต่าง ๆ ได้แก่

• กฎตัวประกอบค่าคงที่ $${\displaystyle (af)'=af'}$$
• กฎผลรวม $${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$$
• กฎผลต่าง $${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}$$

กฎผลคูณ

บทความหลัก: กฎผลคูณ

สำหรับฟังก์ชั่น ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$ ในส่วน ${\displaystyle x}$ คือ

$${\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

$${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}}$$

  ไปที่แนวคิดของการจับคู่ และอนุพันธ์ที่เป็นการจับคู่ ${\displaystyle {\text{D}}}$ ซึ่งเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้

$${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,}$$

กฎลูกโซ่

บทความหลัก: กฎลูกโซ่

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle h(x)=f(g(x))}$ คือ$${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x)}$$

มักจะย่อเป็น $${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}}$$

สำหรับค่า ${\displaystyle c}$ ใด ๆ เมื่อ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, ถ้า ${\displaystyle f(x)}$ คือฟังก์ชันคงที่ โดยที่ ${\displaystyle f(x)=c}$ แล้ว ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=0}$ [4]

กฎฟังก์ชันผกผัน

บทความหลัก: กฎฟังก์ชันผกผัน

ถ้าฟังก์ชัน f มีฟังก์ชันผกผัน g ซึ่งหมายความว่า ${\displaystyle g(f(x))=x}$ และ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ แล้ว $${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}}$$

เมื่อ ${\displaystyle r=1}$ จะเป็นกรณีพิเศษถ้า ${\displaystyle f(x)=x}$ แล้ว ${\displaystyle f'(x)=1}$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป $${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}}$$

กฎยกกำลัง พหุนาม ผลหาร และส่วนกลับ

กฎพหุนามหรือกฎยกกำลังเบื้องต้น

บทความหลัก: กฎยกกำลัง

ถ้า ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ สำหรับจำนวนจริงใดๆ ${\displaystyle r\neq 0}$ แล้ว

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}}$

การรวมกฎยกกำลังเข้ากับกฎผลรวมและกฎการคูณด้วยค่าคงที่ ทำให้สามารถคำนวณอนุพันธ์ของพหุนามใด ๆ ได้

กฎส่วนกลับ

บทความหลัก: กฎส่วนกลับ

อนุพันธ์ของ ${\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$ สำหรับฟังก์ชัน f (ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใด) ใด ๆ คือ

${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}$ โดยที่ f ไม่เป็นศูนย์

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}}$

กฎส่วนกลับสามารถได้มาจากกฎผลหาร หรือจากการรวมกันของกฎยกกำลังและกฎลูกโซ่

กฎผลหาร

บทความหลัก: กฎผลหาร

ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชัน แล้ว

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }$ โดยที่ g ไม่เป็นศูนย์

ซึ่งสามารถได้มาจากกฎผลคูณและกฎส่วนกลับ

กฎยกกำลังวางนัยทั่วไป

บทความหลัก: กฎยกกำลัง

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right)\quad }$

ที่ซึ่งเมื่อทั้งสองฝั่งได้นิยามไว้อย่างรัดกุม

กรณีพิเศษ

• ถ้า ${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$ แล้ว ${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$ เมื่อ a เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ และ x เป็นบวก
• กฎส่วนกลับเป็นกรณีพิเศษโดยที่ ${\textstyle g(x)=-1\!}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}$

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก c แต่อนุพันธ์เมื่อ ${\textstyle c<0}$ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>1}$

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก c แต่ให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อนหาก ${\textstyle c<0\!}$ -

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(W(x)\right)={1 \over {x+e^{W(x)}}},\qquad x>-{1 \over e}.\qquad }$ เมื่อ ${\displaystyle W(x)}$ คือฟังก์ชันดับเบิลยูลัมแบร์ท

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ and if }}{\frac {df}{dx}}{\text{ and }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ exist.}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text{ and }}}$ ${\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ exists. }}}$

อนุพันธ์เชิงลอการิทึม

อนุพันธ์เชิงลอการิทึมเป็นอีกวิธีหนึ่งในการระบุกฎสำหรับการหาอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน (โดยใช้กฎลูกโซ่):

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }$ โดยที่ f เป็นบวก

อนุพันธ์เชิงลอการิทึม เป็นเทคนิคที่ใช้ลอการิทึมและกฎการหาอนุพันธ์เพื่อทำให้นิพจน์บางอย่างง่ายขึ้นก่อนที่จะนำอนุพันธ์ไปใช้จริง^[ต้องการอ้างอิง]^[ จำเป็นต้องอ้างอิง ]

ลอการิทึมสามารถใช้เพื่อลบเลขยกกำลัง แปลงการคูณเป็นการรวม และแปลงการหารเป็นการลบ ซึ่งแต่ละค่าอาจนำไปสู่นิพจน์ที่ง่ายขึ้นในการหาอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บทความหลัก: การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan x={\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc x=-\csc {x}\cot {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec x=\sec {x}\tan {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\cot ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{1 \over 1+x^{2}}}$

ค่าสัมบูรณ์ในตารางด้านบนมีไว้สำหรับเมื่อช่วงของซีแคนต์ผกผันเป็น ${\displaystyle [0,\pi ]\!}$ และเมื่อช่วงของโคซีแคนต์ผกผันเป็น ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$

เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันที่มีอาร์กิวเมนต์สองตัว ${\displaystyle \arctan(y,x)}$ ค่าของฟังก์ชันอยู่ในช่วง ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ และสะท้อนจตุภาคของจุด ${\displaystyle (x,y)}$ สำหรับจตุภาคที่หนึ่งและสี่ (เช่น ${\displaystyle x>0}$ ) มี ${\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)}$ อนุพันธ์ย่อยขอฟังก์ชันคือ

${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\qquad }$และ${\displaystyle \qquad {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x={\operatorname {sech} ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=-\operatorname {csch} ^{2}x=1-\coth ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x=-{\frac {1}{x^{2}-1}}}$

ดูฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกสำหรับข้อจำกัดเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันพิเศษ

ฟังก์ชันแกมมา

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x)\end{aligned}}}$

กับ ${\displaystyle \psi (x)}$ เป็น ฟังก์ชันไดแกมม่า ซึ่งแสดงโดยนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บทางด้านขวาของ ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ในบรรทัดด้านบน

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}}$

อนุพันธ์ของปริพันธ์

บทความหลัก: การหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายปริพันธ์

สมมติว่าจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ในส่วน x ของฟังก์ชัน

${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt}$

ที่ฟังก์ชั่น ${\displaystyle f(x,t)}$ และ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)}$ ต่อเนื่องทั้ง ${\displaystyle t}$ และ ${\displaystyle x}$ ในบางบริเวณของระนาบ ${\displaystyle (t,x)}$ รวมทั้ง ${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ และฟังก์ชัน ${\displaystyle a(x)}$ และ ${\displaystyle b(x)}$ ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ต่อเนื่องได้สำหรับ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ - แล้วเมื่อ ${\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ -

${\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,}$

สูตรนี้เป็นรูปแบบทั่วไปของ กฎอินทิกรัลของไลบ์นิซ และสามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

อนุพันธ์อันดับดับที่ n

มีกฎบางกฎมีขึ้นสำหรับการคำนวณอนุพันธ์อับดับที่ n ของฟังก์ชัน โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งรวมถึง

สูตรของฟาอาดิบรูโน

ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}$$ เมื่อ ${\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ และเซต ${\displaystyle \{k_{m}\}}$ ประกอบด้วยคำตอบจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมดของสมการไดโอแฟนไทน์ ${\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$ -

กฎทั่วไปของไลบ์นิซ

ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}$$

ดูเพิ่ม

• ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้
• ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของฟังชัน
• การหาอนุพันธ์ของปริพันธ์
• การหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายปริพันธ์
• ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก
• ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกผกผัน
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน – ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• รายการปริพันธ์
• รายการฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์
• แคลคูลัสเมทริก
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ – ฟังก์ชันของมุมPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• เอกลักษณ์แคลคูลัสเวกเตอร์

อ้างอิง

1. Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
2. Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.
3. Complex Variables, M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3
4. "Differentiation Rules". University of Waterloo – CEMC Open Courseware. สืบค้นเมื่อ 3 May 2022.

ที่มาและอ่านเพิ่มเติม

กฎเหล่านี้มีอยู่ในหนังสือหลายเล่ม ทั้งแคลคูลัสพื้นฐานและขั้นสูง ในวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ สิ่งที่อยู่ในบทความนี้ (นอกเหนือจากอ้างอิงข้างต้น) สามารถพบได้ใน

• คู่มือคณิตศาสตร์ของสูตรและตาราง (ฉบับที่ 3), S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
• คู่มือสูตรฟิสิกส์ของเคมบริดจ์, G. Woan, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
• วิธีทางคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์และวิศวกรรม, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3.
• คู่มือ NIST ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์, FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.

แหล่งข้อมูลอื่น

• เครื่องคำนวณอนุพันธ์พร้อมการทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย