กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป

ใน แคลคูลัส กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป [1] ตั้งชื่อตาม ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ วางนัยทั่วไปให้กับกฎผลคูณของอนุพันธ์ของผลคูณฟังก์ชันสองฟังก์ชัน (เรียกอีกอย่างได้ว่า "กฎของไลบ์นิทซ์") ระบุไว้ว่าถ้า ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง แล้วผลคูณ ${\displaystyle fg}$ สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง และอนุพันธ์อันดับที่ n จะได้ว่า $${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}$$ เมื่อ ${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$ เป็นสัมประสิทธิ์ทวินามและ ${\displaystyle f^{(j)}}$ หมายถึงอนุพันธ์อันดับที่ j ของ f (และโดยเฉพาะ ${\displaystyle f^{(0)}=f}$)

กฎดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้กฎผลคูณและการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

อนุพันธ์ลำดับที่สอง

ตัวอย่างเช่น เมื่อ n = 2 กฎจะให้นิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับสองของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน$${\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).}$$

มากกว่าสองฟังก์ชัน

สูตรนี้สามารถวางนัยทั่วไปเป็นผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ m ฟังก์ชัน f₁,...,f_m $${\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,}$$ โดยที่ผลรวมขยายไปทั่ว m-สิ่งอันดับ (k₁,...,k_m) ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบด้วย ${\textstyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,}$ และ $${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$$ เป็นสัมประสิทธิ์อเนกนาม คล้ายกับสูตรอเนกนามในพีชคณิต

บทพิสูจน์

บทพิสูจน์กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป[2]: 68–69 โดยการใช้อุปนัย ให้ ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ${\displaystyle n}$ ครั้ง กรณีฐานเมื่อ ${\displaystyle n=1}$ อ้างว่า$${\displaystyle (fg)'=f'g+fg',}$$ ซึ่งเป็นกฎผลคูณและทราบว่าเป็นจริง ต่อไปให้ถือว่าข้อความนั้นถือเป็นจริงเมื่อ ${\displaystyle n\geq 1}$ นั่นก็คือว่า $${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}$$

แล้ว $${\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}$$ และการอ้างดังกล่าวก็เป็นจริงสำหรับ ${\displaystyle n+1}$

ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม

กฎของไลบ์นิทซ์มีความคล้ายคลึงอย่างมากกับทฤษฎีบททวินาม และในความเป็นจริง ทฤษฎีบททวินามสามารถพิสูจน์ได้โดยตรงจากกฎของไลบ์นิทซ์โดยการใช้ ${\displaystyle f(x)=e^{ax}}$ และ ${\displaystyle g(x)=e^{bx}}$ ซึ่งทำให้

${\displaystyle (a+b)^{n}e^{(a+b)x}=e^{(a+b)x}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}}$

แล้วหารทั้งสองข้างด้วย ${\displaystyle e^{(a+b)x}}$ : 69 

แคลคูลัสหลายตัวแปร

โดยใช้สัญกรณ์อเนกดัชนีสำหรับอนุพันธ์ย่อย ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว กฎของไลบ์นิทซ์ระบุไว้โดยทั่วไปว่า $${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).}$$

สูตรนี้สามารถนำมาใช้เพื่อหาสูตรที่คำนวณสัญลักษณ์ขององค์ประกอบของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ได้ ในความเป็นจริงให้ P และ Q เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ (โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้เพียงพอหลายครั้ง) และ ${\displaystyle R=P\circ Q.}$ เนื่องจาก R เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ สัญลักษณ์ของ R จึงกำหนดโดย: $${\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}$$

การคำนวณโดยตรงให้$${\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}$$

โดยทั่วไปสูตรนี้เรียกว่าสูตรไลบ์นิทซ์ ใช้เพื่อกำหนดองค์ประกอบในพื้นที่ของสัญลักษณ์ ทำให้เกิดโครงสร้างวงแหวน

ดูเพิ่มเติม

• ดีริเวชัน
• แคลคูลัสเงามืด

อ้างอิง

1. Olver, Peter J. (2000). Applications of Lie Groups to Differential Equations. Springer. pp. 318–319. ISBN 9780387950006.
2. Spivey, Michael Zachary (2019). The Art of Proving Binomial Identities. Boca Raton: CRC Press, Taylor & Francis Group. ISBN 9781351215817.