เคิร์ล

ในแคลคูลัสเวกเตอร์ เคิร์ล (อังกฤษ: curl) เป็นตัวดำเนินการเวกเตอร์ที่อธิบายการหมุนของสนามเวกเตอร์ ในสามมิติ เคิร์ลที่แต่ละจุดในสนามเวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ซึ่งความยาวและทิศทางแสดงถึงลักษณะการหมุนที่จุดนั้น

ทิศทางของเคิร์ลคือแกนของการหมุนตามที่กำหนดโดยกฎมือขวา และขนาดของเคิร์ลคือขนาดของการหมุน เช่น ถ้าสนามเวกเตอร์แทนความเร็วการไหลของของไหลที่กำลังเคลื่อนที่ แล้วเคิร์ลจะเป็น ความหนาแน่นของการไหลเวียน ของของไหล สนามเวกเตอร์ที่เคิร์ลเป็นศูนย์เรียกว่าสนามไร้การหมุน (irrotational) เคิร์ลเป็นการหาอนุพันธ์รูปแบบหนึ่งสำหรับสนามเวกเตอร์ และทฤษฎีบทที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสสำหรับเคิร์ลคือ ทฤษฎีบทของสโตกส์ ซึ่งเชื่อมโยงปริพันธ์ตามผิวของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์กับปริพันธ์ตามเส้นของสนามเวกเตอร์รอบเส้นโค้งขอบเขตของพื้นผิวนั้น

สัญกรณ์ของเคิร์ล เขียนเป็น curl F หรือ ∇ × F ซึ่งใช้ตัวดำเนินการเดลและผลคูณไขว้ บางครั้งอาจเรียกเคิร์ลว่า โรเตชัน (rotation) หรือ โรเตชันนอล (rotational) เขียนเป็นสัญกรณ์ว่า rot F

เคิร์ลแตกต่างจากตัวดำเนินการเกรเดียนต์และไดเวอร์เจนซ์ เนื่องจากวางนัยทั่วไปไปยังมิติอื่น ๆ ได้ยากกว่า มีการวางนัยทั่วไปอยู่หลายวิธี แต่จะมีเพียงในสามมิติเท่านั้นที่เคิร์ลของสนามเวกเตอร์จะยังได้ผลลัพธ์เป็นสนามเวกเตอร์เหมือนเดิม ปรากฏการณ์นี้คล้ายกับ ผลคูณไขว้ ซึ่งนิยามในสามมิติและขยายไปใช้ในมิติอื่นได้ยากเช่นเดียวกัน ความสัมพันธ์นี้สะท้อนในสัญกรณ์ ∇× สำหรับเคิร์ล

ชื่อ "เคิร์ล" เสนอเป็นครั้งแรกโดย เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ ใน ค.ศ. 1871 [1] แต่แนวคิดนี้มีการใช้งานตั้งแต่ ค.ศ. 1839 ในทฤษฎีสนามเชิงแสงของเจมส์ แมกคัลลัค [2]

องค์ประกอบของ F ที่ตำแหน่ง r ในทิศปกติและทิศสัมผัสกับเส้นโค้งปิด C ในระนาบแบน ที่ล้อมรอบพื้นที่เชิงเวกเตอร์ A = An̂

นิยาม

เคิร์ลของสนามเวกเตอร์ F (แทนด้วย curl F หรือ ∇ × F หรือ rot F) ที่จุดหนึ่ง ๆ นิยามจากภาพฉายของมันลงบนเส้นต่าง ๆ ที่ผ่านจุดนั้น ถ้า n̂ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใด ๆ ภาพฉายของเคิร์ลของ F ไปบน n̂ นิยามโดยลิมิตของปริพันธ์ตามเส้นปิดในระนาบที่ตั้งฉากกับ n̂ หารด้วยพื้นที่ที่ถูกล้อมรอบ เมื่อเส้นทางการหาปริพันธ์ลดขนาดลงสู่จุด

ตัวดำเนินการเคิร์ลส่งฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง f : ℝ^3 → ℝ^3 ให้ได้ฟังก์ชันต่อเนื่อง ℝ^3 → ℝ^3 และโดยทั่วไปแล้วจะแปลงฟังก์ชัน C^kใน ℝ^3 เป็นฟังก์ชัน C^k−1 ใน ℝ^3

แบบแผนสำหรับการวางแนวเวกเตอร์ของปริพันธ์ตามเส้น

โดยปริยาย นิยามของเคิร์ล เขียนเป็นสมการได้เป็น [3] [4]

${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )(p)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\lim _{A\to 0}\left({\frac {1}{|A|}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \right)\mathbf {\hat {n}} }$

โดยที่ ∮_C F ⋅ dr คือ อินทิกรัลตามเส้น ตามขอบเขตของพื้นที่รอบจุดและ |A| คือขนาดของพื้นที่ ถ้า n̂ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับระนาบ และ v̂ เป็นเวกเตอร์ปกติที่ในระนาบที่ชี้ออกไปด้านนอกพื้นที่ (ดูภาพขวา) แล้ว ทิศทางของ C จะเลือกให้เวกเตอร์สัมผัส ω̂ ของ C ทำให้ {n̂,ν̂,ω̂} เป็นชุดเวกเตอร์ที่เป็นไปตามกฎมือขวา

การใช้งาน

ในทางปฏิบัติ นิยามข้างต้นไม่ค่อยได้ใช้เพราะในเกือบทุกกรณี ตัวดำเนินการเคิร์ลสามารถนำมาใช้ในกรอบของระบบพิกัดเชิงเส้นโค้งบางระบบ ที่มีการคำนวณหาสูตรที่ง่ายกว่าเอาไว้แล้ว

สัญกรณ์ ∇ × F มีต้นกำเนิดในความคล้ายคลึงกับผลคูณไขว้สามมิติ และมีประโยชน์ในการช่วยจำสูตรหาเคิร์ลในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดย ∇ แทนตัวดำเนินการเดล สัญกรณ์เช่นนี้ถือเป็นปกติใน ฟิสิกส์ และ พีชคณิต

เมื่อกระจายสูตร ∇ × F ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ (ดู เดลในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม สำหรับสูตรในระบบพิกัดทรงกลม และทรงกระบอก พิกัด) สำหรับ F ที่มีองก์ประกอบเวกเตอร์เป็น [F_x, F_y, F_z] จะได้เป็น

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[5pt]{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\[10pt]F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

โดยที่ i, j, และ k เป็น เวกเตอร์หน่วย สำหรับ แกน x y และ z ตามลำดับ สิ่งนี้จะขยายออกดังนี้: [5]

${\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }$

แม้ว่าจะแสดงในรูปแบบของพิกัด ผลลัพธ์นี้จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนที่เหมาะสมของแกนพิกัด แต่จะพลิกด้านภายใต้การสะท้อน

อ้างอิง

1. Proceedings of the London Mathematical Society, March 9th, 1871
2. Collected works of James MacCullagh
3. Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010,
4. Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
5. Arfken, p. 43.