อนุกรมสลับ

ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมสลับ (อังกฤษ: Alternating series) คืออนุกรมอนันต์ที่อยู่ในรูป

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}}$ หรือ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\,a_{n}}$

โดยที่ a_n > 0 สำหรับทุก n แต่ละพจน์ของอนุกรมจะมีเครื่องหมายบวกและลบสลับกัน เช่นเดียวกับอนุกรมอื่น ๆ อนุกรมสลับจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับของผลบวกจำกัดพจน์ลู่เข้า[1]

ตัวอย่าง

• อนุกรมเรขาคณิต 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ เป็นอนุกรมสลับที่มีผลรวมเป็น 1/3
• อนุกรมฮาร์มอนิกสลับ (1 - 1/2 + 1/3 - ⋯) เป็นอนุกรมลู่เข้า แต่อนุกรมฮาร์มอนิก (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯) เป็นอนุกรมลู่ออก
• อนุกรมเมอร์เคเตอร์เป็นอนุกรมสลับที่แสดงค่าของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\;=\;\ln(1+x)}$

• ไซน์และโคไซน์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ สามารถนิยามเป็นอนุกรมสลับได้ในแคลคูลัส:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

ถ้าเอาแฟกเตอร์ (-1)^n ซึ่งทำให้อนุกรมทั้งสองนี้เป็นอนุกรมสลับออก จะได้ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก sinh และ cosh ตามลำดับ

การทดสอบอนุกรมสลับ

การทดสอบอนุกรมสลับ (อังกฤษ: Alternating series test) เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่า อนุกรมสลับใด ๆ จะลู่เข้า ถ้าลำดับของ a_n ลู่เข้าหา 0 ทางเดียว (นั่นคือเป็นลำดับไม่เพิ่ม)

ข้อพิสูจน์: สมมติให้ a_n ลู่เข้าหา 0 และเป็นลำดับไม่เพิ่ม หาก m เป็นคี่และ m < n แล้ว จากการคำนวณจะได้ค่าประมาณว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}\end{aligned}}}$

ซึ่งเนื่องจาก a_n เป็นลำดับไม่เพิ่ม พจน์ ${\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}$ ในผลบวกจึงเป็นลบทุกพจน์ จึงได้ว่า ${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$ ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า ${\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}$ ซึ่งเนื่องจาก a_m ลู่เข้าหา 0 จะได้ว่าลำดับของผลรวมจำกัด S_m เป็นลำดับโคชี ซึ่งลู่เข้า สำหรับกรณี m เป็นคู่ พิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน

อ้างอิง

1. H. Grauert, I. Lieb: Differential- und Integralrechnung I, Springer-Verlag 1976, ISBN 0-387-07574-7, บทที่ 3, นิยามที่ 3.1 (เยอรมัน)