ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ในวิชาคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (บางครั้งเรียกว่า ฟังก์ชันอาร์ก[1][2][3][4][5][6][7][8][9]) เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่กำหนดโดเมนให้เหมาะสม) ประกอบด้วย ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ เซแคนต์ และฟังก์ชันโคเซแคนต์ ใช้สำหรับหาค่ามุมจากค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติที่ให้มา ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันนี้ใช้กันอย่างกว้างขวางในวิศวกรรมศาสตร์ การเดินเรือ ฟิสิกส์ และเรขาคณิต

สัญกรณ์

มีหลายสัญกรณ์ด้วยกันที่ใช้สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน หลักเกณฑ์การใช้สัญกรณ์ที่ใช้มากที่สุด คือ การตั้งชื่อฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันโดยใช้คำอุปสรรค arc- (อ่านว่า อาร์ก) เช่น arcsin(x), arccos(x), arctan(x) เป็นต้น[6] โดยบทความนี้จะใช้หลักเกณฑ์นี้ในการเรียกฟังก์ชันดังกล่าว หากใช้หน่วยวัดมุมเป็นเรเดียน มุม θ เรเดียนจะมีค่าเหมือนกับค่าอาร์ก ที่ความยาวของค่าอาร์กนั้นมีค่าเท่ากับ rθ เมื่อ r คือ รัศมีของวงกลม ดังนั้น ในวงกลมหนึ่งหน่วย "ค่าอาร์ก ที่มีค่าโคไซน์ของค่าอาร์กนั้นมีค่าเท่ากับ x" จะมีค่าเท่ากับ "ค่ามุม ที่ค่าโคไซน์ของมุมนั้นมีค่าเท่ากับ x" เพราะว่า ความยาวของค่าอาร์กของวงกลมในหน่วยเรเดียนมีค่าเท่ากับขนาดของมุมในหน่วยเรเดียน[10] ทำนองเดียวกัน ในการเขียนภาษาโปรแกรมคอมพิวเตอร์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันมักจะเรียกว่า asin, acos, atan

สัญกรณ์ sin^−1(x), cos^−1(x), tan^−1(x) ฯลฯ ซึ่งเสนอโดยจอห์น เฮอร์เชล ในปี ค.ศ. 1813[11][12][6] กฏเกณฑ์นี้ใช้สัญกรณ์ด้วยเพราะความที่เป็นฟังก์ชันผกผัน โดยอาจทำให้เกิดความสับสนกับระบบการแสดงสัญกรณ์อีกอย่างหนึ่ง เช่น sin^2(x) ซึ่งสื่อถึงการยกกำลังมากกว่าการที่จะเป็นฟังก์ชันคอมโพสิท ดังนั้น การใช้สัญกรณ์เช่นนี้อาจทำให้เกิดความสับสนระหว่างตัวผกผันการคูณกับฟังก์ชันผกผัน ความสับสนนี้จะน้อยลง เนื่องด้วยความจริงที่ว่าตัวผกผันการคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นได้มีชื่อของมันอยู่แล้ว เช่น (cos(x))^−1 = sec(x) แม้กระนั้น ผู้เขียนบางคนแนะนำว่าการใช้สัญกรณ์นั้นมีความกำกวม[6][13]

อ้างอิง

1. Taczanowski, Stefan (1978-10-01). "On the optimization of some geometric parameters in 14 MeV neutron activation analysis". Nuclear Instruments and Methods. ScienceDirect. 155 (3): 543–546. doi:10.1016/0029-554X(78)90541-4. สืบค้นเมื่อ 2017-07-26.
2. Hazewinkel, Michiel (1994) [1987]. Encyclopaedia of Mathematics (unabridged reprint ed.). Kluwer Academic Publishers / Springer Science & Business Media. ISBN 978-155608010-4. ISBN 1556080107.
3. Ebner, Dieter (2005-07-25). Preparatory Course in Mathematics (PDF) (6 ed.). Department of Physics, University of Konstanz. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 2017-07-26. สืบค้นเมื่อ 2017-07-26.
4. Mejlbro, Leif (2010-11-11). Stability, Riemann Surfaces, Conformal Mappings - Complex Functions Theory (PDF) (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 978-87-7681-702-2. ISBN 87-7681-702-4. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 2017-07-26. สืบค้นเมื่อ 2017-07-26.
5. Durán, Mario (2012). Mathematical methods for wave propagation in science and engineering. Vol. 1: Fundamentals (1 ed.). Ediciones UC. p. 88. ISBN 978-956141314-6. ISBN 956141314-0.
6. Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (January 1909). "Chapter II. The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions". Written at Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry. Vol. Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. p. 15. สืบค้นเมื่อ 2017-08-12. […] α = arcsin m: It is frequently read "arc-sine m" or "anti-sine m," since two mutually inverse functions are said each to be the anti-function of the other. […] A similar symbolic relation holds for the other trigonometric functions. […] This notation is universally used in Europe and is fast gaining ground in this country. A less desirable symbol, α = sin^-1m, is still found in English and American texts. The notation α = inv sin m is perhaps better still on account of its general applicability. […]
7. Klein, Christian Felix (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (ภาษาเยอรมัน). Vol. 1 (3rd ed.). Berlin: J. Springer.
8. Klein, Christian Felix (2004) [1932]. Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. แปลโดย Hedrick, E. R.; Noble, C. A. (Translation of 3rd German ed.). Dover Publications, Inc. / The Macmillan Company. ISBN 978-0-48643480-3. ISBN 0-48643480-X. สืบค้นเมื่อ 2017-08-13.
9. Dörrie, Heinrich (1965). Triumph der Mathematik. แปลโดย Antin, David. Dover Publications. p. 69. ISBN 0-486-61348-8.
10. Beach, Frederick Converse; Rines, George Edwin, บ.ก. (1912). "Inverse trigonometric functions". The Americana: a universal reference library. Vol. 21.
11. Cajori, Florian (1919). A History of Mathematics (2 ed.). New York, USA: The Macmillan Company. p. 272.
12. Herschel, John Frederick William (1813). "On a remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions. Royal Society, London. 103 (1): 8.
13. Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. "21.2.-4. Inverse Trigonometric Functions". Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review (3 ed.). Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc. p. 811. ISBN 978-0-486-41147-7.

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Inverse Trigonometric Functions" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Inverse Tangent" จากแมทเวิลด์.