กฎของแทนเจนต์

รูปที่ 1 – กำหนดรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม α, β, และ γ เป็นมุมตรงข้ามด้าน a, b, และ c ตามลำดับ

ในตรีโกณมิติ กฎของแทนเจนต์ (อังกฤษ: law of tangents)[1] เป็นความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์ของมุมสองมุมในรูปสามเหลี่ยมและความยาวด้านตรงข้าม ในรูปที่ 1 a, b, และ c เป็นความยาวด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม และ α, β, และ γ เป็นมุมตรงข้ามของด้านทั้งสามตามลำดับ กฎของแทนเจนต์นั้นกล่าวว่า

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}}}$

แม้ว่ากฎของแทนเจนต์ไม่เป็นที่รู้จักเหมือนกับกฎของไซน์และกฎของโคไซน์ แต่ก็สามารถคำนวณได้เทียบเท่ากับกฎของไซน์ และสามารถนำไปใช้ได้ในกรณีที่ทราบด้านสองด้านและมุมตรงข้ามหนึ่งมุม หรือทราบมุมสองมุมและด้านหนึ่งด้าน

การพิสูจน์

การพิสูจน์กฎของแทนเจนต์เริ่มด้วยกฎของไซน์

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}}$

ให้

${\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}\quad {\text{และ}}\quad d={\frac {b}{\sin \beta }}}$

จะได้

${\displaystyle a=d\sin \alpha \quad {\text{และ}}\quad b=d\sin \beta }$

ทำให้ได้

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}}$

จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เปลี่ยนผลบวกไซน์เป็นผลคูณ

${\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right)}$

จะได้

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}{\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}\div {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}}}$

ดูเพิ่ม

• กฎของไซน์
• กฎของโคไซน์
• กฎของโคแทนเจนต์
• รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

อ้างอิง

1. See Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.