ฟังก์ชันซีตาของรีมัน

ฟังก์ชันซีตาของรีมันสำหรับจำนวนจริง s > 1

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันซีตาของรีมัน (อังกฤษ: Riemann zeta function) เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

ซึ่งตั้งตามชื่อของแบร์นฮาร์ท รีมัน นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ฟังก์ชันนี้มีความสำคัญในด้านทฤษฎีจำนวนเนื่องจากว่ามันสามารถบ่งบอกถึงการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะได้ และยังสามารถประยุกต์ใช้ในทางฟิสิกส์ ความน่าจะเป็น และสถิติได้

สูตรผลคูณของอ็อยเลอร์

ในปี ค.ศ. 1737 อ็อยเลอร์ค้นพบความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันซีตาของรีมันและจำนวนเฉพาะ ซึ่งพิสูจน์เอกลักษณ์ดังกล่าว

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ is prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

การพิสูจน์เอกลักษณ์นี้ ใช้เพียงสูตรสำหรับอนุกรมเรขาคณิต และ ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากอนุกรมฮาร์มอนิก เมื่อ s = 1 เป็นอนุกรมลู่ออก

สูตรผลคูณของออยเลอร์สามารถใช้เพื่อคำนวณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มใด ๆ หารด้วยจำนวนเฉพาะ (หรือจำนวนเต็ม) p ลงตัว คือ 1/p ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ตัวเลขจำนวน s ตัวหารด้วยจำนวนเฉพาะนี้ลงตัวคือ 1/p^s และความน่าจะเป็นที่จะหารไม่ลงตัว คือ 1 − 1/p^s สำหรับจำนวนเฉพาะ ดังนั้นความน่าจะเป็นจะได้มาจากผลคูณของลำดับของจำนวนเฉพาะทั้งหมด นั่นคือ ${\displaystyle \prod _{p{\text{is prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p{\text{is prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$

ดูเพิ่ม

• สมมติฐานของรีมัน