超奇異質數

在月光理論的數學分支中，超奇異質數（Supersingular prime）是怪兽群（Monster group，最大的簡單散在群）“M”階數的質因數 。超奇異質數只有15個：包括前11個質數（2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31）、41、47、59和71。（OEIS數列A002267）

不是超奇異質數的質數有37、43、53、61、67，以及任何大於或等於73的質數。所有超奇異質數都是陳素數，但是不是不是超奇異質數的37、53和67也是陳素數，並且有無數個大於73的陳素數。

超奇異質數與以下所述超奇異橢圓曲線（英语：supersingular elliptic curve）的概念有關。對於素數“ p”，以下等價：

1. 模曲線 X₀^+(p) = X₀(p)/w_p，其中 w_p 是Fricke involution（英语：Fricke involution）的X₀(p)，其特征為零。  
2. 可以在素子場（prime subfield）上定義特徵“p”中的所有超奇異橢圓曲線 F_p.
3. 怪物組的階數可被“p”整除。

上述等價敘述是由安德魯·奧格（英语：Andrew Ogg）提出。奧格在1975年證明滿足第一個條件的素數，恰好是上面列出的15個超奇數素數，此後不久就得知（當時是猜想的）零星簡單群的存在，這些群正好把這些素數作為素數除數。這種奇怪的巧合即為怪兽月光理论的基礎。

三個非超奇異素數以另外兩個簡單散在群的階數出現：37和67是里昂群階數的因數，以及37和43是揚科群J4（英语：Janko group J4）階數的因數。可以立即得出結論，這兩個不是魔群組的子商（它們是六個低群（英语：pariah groups）中的兩個）。其他的散在群（包括其他四個低群，若提次群（英语：Tits group）可計入散在群的話，也包括提次群）也具有僅超奇質數的階。 實際上，除了小怪獸群（英语：Baby monster group）以外，它們都只能被小於或等於31的素數整除的階，不過只有怪獸群的因數包括所有的超奇異質數。超奇異質數47是小怪獸群階數的因數，而其他三個超奇異質數（41、59和71）只是怪獸群的因數，不是其他散在群的因數。

參考資料

• 埃里克·韦斯坦因. Supersingular Prime. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Sporadic group. MathWorld. 
• Ogg, A. P. Modular Functions. Cooperstein, Bruce; Mason, Geoffrey (编). The Santa Cruz Conference on Finite Groups. Held at the University of California, Santa Cruz, Calif., June 25–July 20, 1979. Providence, RI: Amer. Math. Soc. 1980: 521–532. ISBN 0-8218-1440-0.