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在數論中，全循環質數^[1]^:166又名長質數是指一個質數p，使分數1/p的循環節長度比質數少1，更精確地說，全循環質數是指一個質數p，在一個已知底數為b的進位制下，在下面算式中可以得出一個循環數的質數

{\frac {b^{p-1}-1}{p}}

若p為23，b為17，所得的數字0C9A5F8ED52G476B1823BE為循環數

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 1 = 0C9A5F8ED52G476B1823BE

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 2 = 1823BE0C9A5F8ED52G476B

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 3 = 23BE0C9A5F8ED52G476B18

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 4 = 2G476B1823BE0C9A5F8ED5

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 5 = 3BE0C9A5F8ED52G476B182

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 6 = 476B1823BE0C9A5F8ED52G

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 7 = 52G476B1823BE0C9A5F8ED

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 8 = 5F8ED52G476B1823BE0C9A

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 9 = 6B1823BE0C9A5F8ED52G47

0C9A5F8ED52G476B1823BE × A = 76B1823BE0C9A5F8ED52G4

0C9A5F8ED52G476B1823BE × B = 823BE0C9A5F8ED52G476B1

0C9A5F8ED52G476B1823BE × C = 8ED52G476B1823BE0C9A5F

0C9A5F8ED52G476B1823BE × D = 9A5F8ED52G476B1823BE0C

0C9A5F8ED52G476B1823BE × E = A5F8ED52G476B1823BE0C9

0C9A5F8ED52G476B1823BE × F = B1823BE0C9A5F8ED52G476

0C9A5F8ED52G476B1823BE × G = BE0C9A5F8ED52G476B1823

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 10 = C9A5F8ED52G476B1823BE0

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 11 = D52G476B1823BE0C9A5F8E

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 12 = E0C9A5F8ED52G476B1823B

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 13 = ED52G476B1823BE0C9A5F8

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 14 = F8ED52G476B1823BE0C9A5

0C9A5F8ED52G476B1823BE × 15 = G476B1823BE0C9A5F8ED52

而 ${1 \over 16}=0.{\overline {0C9A5F8ED52G476B1823BE}}$ ，循環節長度為22，比23少1，因此23為全循環質數

十進位中的全循環質數有：

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593,... （OEIS數列A001913）

參見

參考文獻

^ Dickson, Leonard E., 1952, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Chelsea Public. Co.

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, 1996.
Francis, Richard L.; "Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers"; in The College Mathematics Journal, Vol. 19, No. 3. (May, 1988), pp. 240–246.

外部連結

查论编質數類
公式	卡羅爾（ $（2 n －1） 2 －2$ ）費馬質數（ $2 2 n ＋1$ ）梅森質數（ $2 p －1$ ）雙重梅森質數（ $2 2 p －1 －1$ ）瓦格斯塔夫質數 $（2 p ＋1）／3$ 普羅斯質數（ $k \cdot2 n ＋1$ ）階乘質數（ $n ！\pm1$ ）質數階乘質數（ $p n ＃\pm1$ ）歐幾里得數（ $p n ＃＋1$ ）畢達哥拉斯質數（ $4 n ＋1$ ）皮爾龐特質數（ $2 m \cdot3 n ＋1$ ） Quartan質數（ $x 4 ＋ y 4$ ）（英语：Quartan prime）索利納斯質數（ $2 m \pm2 n \pm1$ ）（英语：Solinas prime）卡倫質數（ $n \cdot2 n ＋1$ ）胡道爾質數（ $n \cdot2 n －1$ ）立方質數（ $x 3 － y 3 ）／（ x － y$ ）萊蘭質數（ $x y ＋ y x$ ）塔別脫質數（ $3\cdot2 n －1$ ）威廉姆斯素数（ $（ b -1）\cdot b n －1$ ）（英语：Williams number）米爾斯質數（［ $A 3 n$ ］） Kynea質數（ $（2 n ＋1） 2 －2$ ）
整數數列	斐波纳契素数盧卡斯質數佩尔質數 NSW質數佩蘭偽質數
屬性	維費里希質數質數對（英语：Wieferich pair）沃尔-孙-孙質數沃爾斯滕霍爾姆質數（英语：Wolstenholme prime）威尔逊素数幸运質數 Fortunate質數（英语：Fortunate number）拉馬努金質數皮萊質數正則質數强質數斯特恩質數超奇異質數（橢圓曲線）（英语：Supersingular prime (algebraic number theory)）超奇異質數（月光理論）好質數超質數希格斯質數高互補歐拉商數唯一質數
基數相關	回文素数反素数循環單位質數 $（10 n －1）／9$ 可交换質數環狀質數可截短質數極小質數精緻質數（英语：Delicate prime）原始質數全循環質數唯一質數快樂質數自我質數 Smarandache–Wellin質數 Strobogrammatic質數（英语：Strobogrammatic prime）二面質數四面質數（英语：Tetradic number）
圖形	孪生質數（ $p ， p ＋2$ ）孪生倍链（ $n \pm 1，2 n \pm 1，4 n \pm 1，\dots$ ）（英语：Bi-twin chain）三胞胎質數（ $p ， p ＋2 或 p ＋4， p ＋6$ ）四胞胎質數（ $p ， p ＋2， p ＋6， p ＋8$ ）質數k元組（英语：Prime k-tuple）表兄弟質數（ $p ， p ＋4$ ）六質數（ $p ， p ＋6$ ）陈質數索菲·熱爾曼／安全質數（ $p ，2 p ＋1$ ）坎寧安鏈（ $p ，2 p \pm 1，4 p \pm 3，8 p \pm 7，...$ ）（英语：Cunningham chain）等差數列（ $p ＋ a\cdotn ， n ＝0，1，2，3，...$ ）平衡質數（ $連續的 p － n ， p ， p ＋ n$ ）
數量級	超大質數（1,000,000+以上）（英语：Megaprime）已知最大質數列表（英语：List of largest known primes and probable primes）
复数	艾森斯坦質數高斯質數
合数	伪質數卡塔蘭（英语：Catalan pseudoprime）橢圓（英语：Elliptic pseudoprime）欧拉欧拉-雅可比费马弗羅貝尼烏斯（英语：Frobenius pseudoprime）盧卡斯（英语：Lucas pseudoprime）佩蘭索默爾–盧卡斯（英语：Somer–Lucas pseudoprime）強卡邁克爾數殆質數半質數楔形数 Interprime 有害数（英语：Pernicious number）
相關	可能質數產業等級質數非法質數質數公式質數間隙 $X 2 ＋1$ 質數質數定理素数计数函数素性测试
前60個質數	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
質數列表

全循環質數

參見

參考文獻

外部連結

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