การทดสอบด้วยพจน์ที่ n

 

ในทางคณิตศาสตร์ การทดสอบด้วยพจน์ที่ n เพื่อหาการลู่ออก (อังกฤษ: nth-term test for divergence) เป็นการทดสอบเพื่อหาการลู่ออกของอนุกรมอนันต์ที่เรียบง่าย

ถ้า ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ หรือถ้าไม่มีลิมิต แล้ว ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ จะลู่ออก

ผู้เขียนหลายรายไม่ได้ตั้งชื่อการทดสอบนี้ไว้หรือใช้ชื่อที่สั้นกว่า [1]

เมื่อทดสอบว่าอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก โดยทั่วไปการทดสอบนี้จะได้รับการใช้ก่อนเนื่องจากใช้งานง่าย

ในกรณีของการวิเคราะห์ p-แอดิก การทดสอบพจน์เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการลู่เข้าเนื่องมาจากอสมการสามเหลี่ยมอัลตราเมตริกที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีดี

การใช้งาน

ไม่เหมือนกับการทดสอบการลู่เข้าอื่น ๆ ที่เข้มกว่า การทดสอบนโดยพจน์ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าอนุกรมนั้นลู่เข้า โดยเฉพาะบทกลับของการทดสอบนั้นไม่จริง สิ่งที่สามารถพูดได้คือ

ถ้า ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ แล้ว ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ อาจลู่เข้าหรือไม่ก็ได้ อีกนัยหนึ่งคือถ้า ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ การทดสอบสรุปไม่ได้

อนุกรมฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของอนุกรมลู่ออกซึ่งมีพจน์เข้าใกล้ศูนย์ในลิมิตเมื่อ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

คลาสทั่วไปของอนุกรมพี

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},}$

ตัวอย่างผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบ

• หาก p ≤ 0 การทดสอบพจน์ที่ n บ่งบอกว่าอนุกรมลู่ออก
• หาก 0 < p ≤ 1 การทดสอบพจน์ที่ n บ่งบอกว่าไม่มีข้อสรุป แต่อนุกรมนี้ลู่ออกจากการทดสอบปริพันธ์เพื่อหาการลู่เข้า
• หาก 1 < p การทดสอบพจน์ที่ n จะไม่มีข้อสรุป แต่อนุกรมนี้ลู่เข้า โดยการทดสอบปริพันธ์เพื่อหาการลู่เข้า

พิสูจน์

โดยทั่วไปการทดสอบจะได้รับการพิสูจน์ในรูปประพจน์แย้งสลับที่

ถ้า ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ลู่เข้าแล้ว ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

การเปลี่ยนรูปลิมิต

ถ้า s_n เป็นผลรวมย่อยของอนุกรม ดังนั้นสมมติฐานที่ว่าอนุกรมลู่เข้าหมายความว่า

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=L}$

สำหรับจำนวน L บางตัว แล้ว

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=\lim _{n\to \infty }s_{n}-\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=L-L=0}$

หลักเกณฑ์ของโคชี

การสมมตืให้อนุกรมลู่เข้า แสดงว่าอนุกรมนี้ผ่านการทดสอบการลู่เข้าของโคชี สำหรับทุก ${\displaystyle \varepsilon >0}$ มี N ที่ทำให้

${\displaystyle \left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}\right|<\varepsilon }$

เป็นจริงสำหรับทุก n > N และ p ≥ 1 ทั้งหมด การตั้งให้ p = 1 จะได้ว่า[2]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

ขอบเขต

การทดสอบพจน์ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดนั้น ใช้ได้กับอนุกรมอนันต์ของจำนวนจริง บทพิสูจน์สองข้อข้างต้น โดยการอ้างถึงหลักเกณฑ์โคชีหรือความเชิงเส้นของลิมิต ยังใช้ได้กับปริภูมิเวกเตอร์ระบุขนาดอื่น ๆ หรือกรุปอาบีเลียนที่เขียนแบบการบวกใด ๆ ได้ด้วย

หมายเหตุ

1. ตัวอย่าง Rudin (p.60) เขียนไว้แค่รูปประพจน์แย้งสลับที่และไม่ได้ตั้งชื่อไว้ Brabenec (p.156) เรียกไว้แค่ nth term test Stewart (p.709) เรียกไว้ว่า Test for Divergence Spivak (p. 473) เรียกไว้ว่า Vanishing Condition.
2. Rudin (pp.59-60) ใช้วิธีการพิสูจน์นี้ แต่เริ่มด้วยรูปแบบอื่นของหลักเกณฑ์โคชี

อ้างอิง

• Brabenec, Robert (2005). Resources for the study of real analysis. MAA. ISBN 0883857375.
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. ISBN 9812565639.
• Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003). Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. ISBN 0821820508.
• Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis (3e ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Houston, TX: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1.
• Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.
• Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Functional Analysis. Springer. ISBN 1402016166.