Weierstrass elliptiska funktion

Inom matematiken är Weierstrass elliptiska funktion en elliptisk funktion uppkallad efter Karl Weierstrass. Funktionen betecknas vanligen med ${\displaystyle \wp }$.

Symbolen för Weierstrass ${\displaystyle \wp }$-funktion

Modell av Weierstrass ${\displaystyle \wp }$-funktion

Definition

Weierstrass P-funktion definierad över en delmängd av det komplexa planet. Vit motsvarar en pol, svart ett nollställe och maximal färgmättnad betyder att ${\displaystyle \left|f(z)\right|=\left|f(x+iy)\right|=1\;.}$

Weierstrass elliptiska funktion kan definieras på tre nära relaterade sätt. Den första definitionen är som en funktion av en komplex variabel z och ett gitter Λ i övre planhalvan. En annan definition är med hjälp av z och två komplexa tal ω₁ och ω₂ som genererar och utgör ett periodpar för gittret. Den tredje definitionen är med hjälp av z och ett komplext tal τ i övre planhalvan. Den här är relaterad till den förra definitionen enligt τ = ω₂/ω₁. Då bildar Weierstrass funktion för fixerat z en modulär funktion av τ.

Med hjälp av perioderna är Weierstrass elliptiska funktion en elliptisk funktion med perioder ω₁ och ω₂ definierad som

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}.}$

Då är ${\displaystyle \Lambda =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ punkterna vid periodgittret, så att

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})}$

för ett godtyckligt par av generatorer av gittret definierar Weierstrass ${\displaystyle \wp }$-funktion en funktion av en komplex variabel och ett gitter.

Om ${\displaystyle \tau }$ är ett komplext tal i övre planhalvan är

${\displaystyle \wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}\left\{{1 \over (z+m+n\tau )^{2}}-{1 \over (m+n\tau )^{2}}\right\}.}$

Summan ovan är homogen av grad minus två, från vilket vi kan definiera ${\displaystyle \wp }$-funktion för ett godtyckligt periodpar som

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega _{1}}};{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})}{\omega _{1}^{2}}}.}$

Weierstrass ${\displaystyle \wp }$-funktion kan beräknas väldigt snabbt med hjälp av thetafunktioner enligt formeln

${\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over {3}}\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )\right]}$

Invarianterna

Reella delen av invarianten g₃ som en funktion av q i enhetsdisken.

Imaginära delen av invarianten g₃ som en funktion av q i enhetsdisken.

I en omgivning av origo är Laurentserien av ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=z^{-2}+{\frac {1}{20}}g_{2}z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}z^{4}+O(z^{6})}$

där

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.}$

Talen g₂ och g₃ är kända som invarianterna. Summorna efter koefficienterna 60 och 140 är de två första Eisensteinserierna, som är modulära former då de betraktas som funktioner G₄(τ) respektive G₆(τ)) av τ = ω₂/ω₁ med Im(τ) > 0.

Notera att g₂ och g₃ är homogena funktioner av grader −4 och −6; i andra ord,

${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$

${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$

Därför skrivs vanligen ${\displaystyle g_{2}}$ och ${\displaystyle g_{3}}$ med hjälp av periodkvotet ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$ där ${\displaystyle \tau }$ antas vara i övre planhalvan som ${\displaystyle g_{2}(\tau )=g_{2}(1,\omega _{2}/\omega _{1})}$ och ${\displaystyle g_{3}(\tau )=g_{3}(1,\omega _{2}/\omega _{1})}$.

Fourierserien av ${\displaystyle g_{2}}$ and ${\displaystyle g_{3}}$ kan skrivas med hjälp av variabeln ${\displaystyle q=\exp(i\pi \tau )}$ som

${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4\pi ^{4}}{3}}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8\pi ^{6}}{27}}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$

där ${\displaystyle \sigma _{a}(k)}$ är sigmafunktionen. Denna formel kan skrivas med hjälp av Lambertserier.

Invarianterna kan skrivas med hjälp av Jacobis thetafunktioner. Denna metod är väldigt användbar för numeriska räkningar emedan thetafunktionernas serier konvergerar väldigt snabbt. I beteckningen av Abramowitz och Stegun, men genom att beteckna de primitiva halvperioderna med ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$, satisfierar invarianterna

${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{4}}{12\omega _{1}^{4}}}(a^{8}-a^{4}b^{4}+b^{8})={\frac {\pi ^{4}}{6\omega _{1}^{4}}}(a^{8}+b^{8}+c^{8})}$

${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{6}}{({\sqrt {6}}\,\omega _{1})^{6}}}(a^{12}-33a^{8}b^{4}-33a^{4}b^{8}+b^{12})}$

där

${\displaystyle a=\theta _{2}(0;q)=\vartheta _{10}(0;\tau )}$

${\displaystyle b=\theta _{3}(0;q)=\vartheta _{00}(0;\tau )}$

${\displaystyle c=\theta _{4}(0;q)=\vartheta _{01}(0;\tau )}$

och ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$ är periodkvotet, ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ och ${\displaystyle \theta _{m}}$ och ${\displaystyle \vartheta _{n}}$ är alternativa beteckningar.

Differentialekvation

Weierstrass funktion satisfierar differentialekvationen

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}.\,}$

Integralekvation

Weierstrass elliptiska funktion kan ges som inversen av en elliptisk integral. Låt

${\displaystyle u=\int _{y}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$

där g₂ och g₃ ses som konstanter. Då är

${\displaystyle y=\wp (u).}$

Detta följer direkt genom att integrera differentialekvationen.

Konstanterna e₁, e₂ och e₃

Betrakta tredjegradsekvationen 4t^3 − g₂t − g₃ = 0 med rötterna e₁, e₂ och e₃. Dess diskriminant är 16 gånger den modulära diskriminanten Δ = g₂^3 − 27g₃^2. Om den inte är noll är alla dessa rötter skilda. Eftersom den kvadratiska termen av detta kubiska polynom är noll är rötterna relaterade enligt ekvationen

${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.\,}$

De linjära och konstanta koefficienterna (g₂ och g₃) är relatrede till rötterna enligt ekvationerna (se elementära symmetriska polynom).[1]

${\displaystyle g_{2}=-4\left(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3}\right)=2\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}\right)}$

${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}.}$

Rötterna e₁, e₂ och e₃ av ekvationen ${\displaystyle 4X^{3}-g_{2}X-g_{3}}$ beror på τ och kan skrivas med hjälp av Jacobis thetafunktioner.Som tidigare, låt

${\displaystyle a=\theta _{2}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{10}(0;\tau )}$

${\displaystyle b=\theta _{3}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{00}(0;\tau )}$

${\displaystyle c=\theta _{4}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{01}(0;\tau ),}$

då är

${\displaystyle e_{1}(\tau )={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}(b^{4}+c^{4})}$

${\displaystyle e_{2}(\tau )={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}(-a^{4}-b^{4})}$

${\displaystyle e_{3}(\tau )={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}(a^{4}-c^{4}).}$

Eftersom ${\displaystyle g_{2}=2\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}\right)}$ och ${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$ kan även dessa skrivas med hjälp av thetafunktioner. I förenklad form är

${\displaystyle g_{2}(\tau )={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}(a^{8}+b^{8}+c^{8})}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}}$

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}.}$

I fallet av reella invarianter bestämmer tecknet av Δ = g₂^3 − 27g₃^2 naturen av rötterna. Om ${\displaystyle \Delta >0}$ är alla tre rötterna reella och det är konventionellt att namge dem så att ${\displaystyle e_{1}>e_{2}>e_{3}}$. Om ${\displaystyle \Delta <0}$ är det konventionellt att skriva ${\displaystyle e_{1}=-\alpha +\beta i}$ (där ${\displaystyle \alpha \geq 0}$, ${\displaystyle \beta >0}$), av vilket ${\displaystyle e_{3}={\overline {e_{1}}}}$ följer, och ${\displaystyle e_{2}}$ är rellt och icke-negativt.

Halvperioderna ω₁/2 and ω₂/2 av Weierstrass elliptiska funktion är relaterade till rötterna enligt

${\displaystyle \wp (\omega _{1}/2)=e_{1}\qquad \wp (\omega _{2}/2)=e_{2}\qquad \wp (\omega _{3}/2)=e_{3}}$

där ${\displaystyle \omega _{3}=-(\omega _{1}+\omega _{2})}$. Eftersom kvadraten av derivatan av Weierstrass elliptiska funktion är lika med den kubiska funktionen ovan av funktionens värde är ${\displaystyle \wp '(\omega _{i}/2)^{2}=\wp '(\omega _{i}/2)=0}$ för ${\displaystyle i=1,2,3}$. Om igen funktionens värde är lika med en rot av polynomet är derivatan lika med noll.

Om g₂ och g₃ är reella och Δ > 0 är e_i alla reella, och ${\displaystyle \wp ()}$ är rell vid randen av rektangeln med hörnen 0, ω₃, ω₁ + ω₃ och ω₁. Om rötterna ordnas såsom ovan (e₁ > e₂ > e₃) är första halvperioden reell:

${\displaystyle \omega _{1}/2=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}}$

emedan den tredje halvperioden är rent imginär:

${\displaystyle \omega _{3}/2=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}.}$

Additionformler

Weierstrass elliptiska funktion satisfierar flera intressanta identiteter:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{bmatrix}}=0}$

(en symmetrik version är

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0}$

där u + v + w = 0).

Den satisfierar även

${\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y)}$

och

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z)}$

bara 2z inte är en period.

Referenser

Noter

1. Abramowitz and Stegun, p. 629

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Weierstrass's elliptic functions, 11 februari 2014.

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., reds. (1965), ”Chapter 18”, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, s. 627, ISBN 978-0486612720 
• N. I. Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover; Republished in English translation as Theory of Functions (1996), Dover ISBN 0-486-69219-1
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010), ”Weierstrass Elliptic and Modular Functions”, i Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. m.fl., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, MR 2723248, ISBN 978-0521192255 
• E.T. Whittaker och G.N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952, chapters 20 and 21

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Weierstrass elliptiska funktion.
  Bilder & media
• Hazewinkel, Michiel, red. (2001), ”Weierstrass elliptic functions”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
• Weierstrass elliptiska funktion på MathWorld (engelska)
• Elliptiska funktioner, Hans Lundmarks sida för komplex analys (engelska)