Betafunktionen

Betafunktionen är en speciell funktion som definieras som

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}$

om ${\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0.\,}$. Funktionen har studerats av Euler och Legendre.

Egenskaper

Betafunktionen är symmetrisk:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!}$[1]

Den kan skrivas på flera ekvivalenta sätt:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!}$[1]

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad \mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0\!}$[2]

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad \mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0\!}$[2]

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}\!}$.

Betafunktionen har flera intressanta egenskaper såsom:

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y+1)={y \over x+y}\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,x)=2^{1-2x}B\left({\frac {1}{2}},x\right).\!}$

Tillväxt

För stora värden på x och y ger Stirlings formel

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}}$

Om däremot x är stort och y fixerat är

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}$

Derivata

Betafunktionens derivata är

${\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),}$

där ${\displaystyle \ \psi (x)}$ är digammafunktionen.

Ofullständiga betafunktionen

Ofullständiga betafunktionen definieras som

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}$

Då x = 1 blir den den ordinära betafunktionen.

Den regulariserade ofullständiga betafunktionen definieras som

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}$

För heltal a och b får man med partialintegration

${\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{\binom {a+b-1}{j}}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}$

Egenskaper

${\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}$

${\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}$

${\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}$

${\displaystyle I_{x}(a+1,b)=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{aB(a,b)}}\,}$.

Referenser

Noter

1. ^ [ ] Davis (1972) 6.2.2 p.258
2. ^ [ ] Davis (1972) 6.2.1 p.258

Källor

• Zelen, M.; Severo, N. C. (1972), ”26. Probability functions”, i Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, s. 925-995, ISBN 978-0-486-61272-0 
• Davis, Philip J. (1972), ”6. Gamma function and related functions”, i Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_258.htm 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), ”Section 6.1 Gamma Function, Beta Function, Factorials”, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Betafunktionen.
  Bilder & media