Felfunktionen

Felfunktionens graf

Felfunktionen, erf, (också kallad Gauss felfunktion) är inom matematiken en specialfunktion (den är inte elementär) som förekommer inom sannolikhetslära, statistik och tillämpade partiella differentialekvationer. Den definieras som[1][2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-x}^{x}e^{-t^{2}}\,dt\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.\end{aligned}}}$

Inom statistiken har felfunktionen för icke-negativa tal tolkningen: för en stokastisk variabel Y som är normalfördelad med medelvärdet 0 och variansen 1/2, beskriver erf(x) sannolikheten för Y inom intervallet [−x, x].

Egenskaper

Grafer i det komplexa planet

Integranden exp(−z^2)

erf(z)

Egenskapen ${\displaystyle \operatorname {erf} (-z)=-\operatorname {erf} (z)}$ innebär att felfunktionen är en udda funktion. För varje komplext tal z är

${\displaystyle \operatorname {erf} ({\overline {z}})={\overline {\operatorname {erf} (z)}}}$

där ${\displaystyle {\overline {z}}}$ är det komplexa konjugatet av z.

Integranden ƒ = exp(−z^2) och ƒ = erf(z) visas i det komplexa z-plane i figurerna 2 and 3. Beloppet av Im(ƒ) = 0 visas med en tjock grön linje. Negativa heltalsvärden hos Im(ƒ) visas med tjocka röda linjer. Positiva heltalsvärden av Im(f) visas med tjocka blå linjer. Mellanliggande värden Im(ƒ) = konstant visas med tunna gröna linjer. Mellanliggande värden av Re(ƒ) = konstant visas med tunna röda linjer för negativa värden och med tunna blå linjer för positiva värden.

Felfunktionen är exakt 1 vid +∞. Längs den reella axeln närmar sig erf(z) 1 när z → +∞ och −1 när z → −∞. Längs den imaginära axeln, närmar sig funktionen ±i∞.

Taylorserier

Felfunktionen är en hel funktion; den har inga singulariteter (med undantag för den vid oändligheten) och dess Taylorutveckling konvergerar alltid.

Den definierande integralen kan inte beräknas i sluten form med elementära funktioner, men genom expansion av e^−z2 i dess Maclaurinserie och integration term för term erhålls felfunktionens Maclaurinserie som

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\cdots \right)}$

vilken gäller för varje komplext tal  z.

Den imaginära felfunktionen har en liknande Maclaurinserie:

${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)}$

vilken gäller för varje komplext tal z.

Derivata och integral

Felfunktionens derivata följer direkt från dess definition:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}.}$

En primitiv funktion till felfunktionen, erhålls genom partialintegration och är

${\displaystyle z\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$

En primitiv funktion till den komplexa felfunktionen, erhålls också genom partialintegration och är

${\displaystyle z\operatorname {erfi} (z)-{\frac {e^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$

Högre derivator ges av

${\displaystyle {\operatorname {erf} }^{(k)}(z)={2(-1)^{k-1} \over {\sqrt {\pi }}}{\mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {d^{k-1}}{dz^{k-1}}}\left(e^{-z^{2}}\right),\qquad k=1,2,\dots }$

där ${\displaystyle {\mathit {H}}}$ är ett Hermitepolynom.[3]

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, erf, 18 mars 2018.

Noter

1. Andrews, Larry C.; Special functions of mathematics for engineers
2. Greene, William H.; Econometric Analysis (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11
3. Wolfram MathWorld

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Felfunktionen.
  Bilder & media