Jacobipolynom

Inom matematiken är Jacobipolynomen en viktig klass ortogonala polynom. De introducerades av Carl Gustav Jacob Jacobi. Flera andra ortogonala polynom är specialfall av dem, däribland Gegenbauerpolynomen, Legendrepolynomen, Zernikepolynomen samt Tjebysjovpolynomen.

Definitioner

Med hjälp av hypergeometriska funktionen

Jacobipolynomen kan definieras via hypergeometriska funktionen enligt

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right)}$

där ${\displaystyle (\alpha +1)_{n}}$ är Pochhammersymbolen. Ett ekvivalent uttyck är

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}~.}$

Rodrigues formel

En alternativ definition ges av Rodirgues formel

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }(1-z^{2})^{n}\right\}~.}$

Explicita uttryck för de första Jacobipolynomen

${\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1}$

${\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{2}}\left[2(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2)(z-1)\right]}$

${\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{8}}\left[4(\alpha +1)(\alpha +2)+4(\alpha +\beta +3)(\alpha +2)(z-1)+(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)(z-1)^{2}\right]}$

Egenskaper

Ortogonalitet

Jacobipolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen

${\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}}$

för α, β > −1.

Symmetrirelation

Jacobipolynomen satisfierar symmetrirelationen

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}$

Derivator

Jacobipolynomens kte derivata ges av

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}$

Differentialekvation

Jacobipolynomet P_n^(α, β) är en lösning av andra ordningens linjära homogena differentialekvation

${\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.}$

Differensekvation

Jacobipolynomen satisfierar differensekvationen

${\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=\\&\quad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z)~,\end{aligned}}}$

för n = 2, 3, ....

Generenade funktion

Jacobipolynomens genererande funktion ges av

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)w^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-w+R)^{-\alpha }(1+w+R)^{-\beta }~}$

där

${\displaystyle R=R(z,w)=\left(1-2zw+w^{2}\right)^{\frac {1}{2}}~.}$

Speciella värden

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}}$

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}}$

Tillväxt

Jacobipolynomen satisfierar

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos {\frac {z}{n}}\right)&=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)~\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left[\pi -{\frac {z}{n}}\right]\right)&=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)~\end{aligned}}.}$

En annan formel är

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )={\frac {\cos \left(\left[n+(\alpha +\beta +1)/2\right]\theta -\left[2\alpha +1\right]\pi /4\right)}{{\sqrt {\pi n}}\left[\sin(\theta /2)\right]^{\alpha +1/2}\left[\cos(\theta /2)\right]^{\beta +1/2}}}+{\mathcal {O}}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta <\pi .}$

Se även

• Askey–Gaspers olikhet

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Jacobi polynomials, 4 december 2013.