Dickman–de Bruijns funktion ρ(u ) utritad i en logaritmisk skala. Inom analytisk talteori är Dickmans funktion eller Dickman–de Bruijns funktion ρ en speciell funktion som används till att uppskatta antalet släta tal mindre än en given storhet. Den introducerades av Karl Dickman i hans enda matematiska publikation och studerades vidare av Nicolaas Govert de Bruijn .[ 1] [ 2] [ 3]
Definition
Dickman-de Bruijns funktion
ρ
(
u
)
{\displaystyle \rho (u)}
kontinuerlig funktion som satisfierar differentialekvationen
u
ρ
′
(
u
)
+
ρ
(
u
−
1
)
=
0
{\displaystyle u\rho '(u)+\rho (u-1)=0\,}
med villkoret
ρ
(
u
)
=
1
{\displaystyle \rho (u)=1}
u ≤ 1. Dickman bevisade att då
a
{\displaystyle a}
Ψ
(
x
,
x
1
/
a
)
∼
x
ρ
(
a
)
{\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})\sim x\rho (a)\,}
där
Ψ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \Psi (x,y)}
y -glatta tal inte större än x .
V. Ramaswami bevisade senare att
Ψ
(
x
,
x
1
/
a
)
{\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})}
x
ρ
(
a
)
{\displaystyle x\rho (a)}
Ψ
(
x
,
x
1
/
a
)
=
x
ρ
(
a
)
+
O
(
x
/
log
x
)
.
{\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+O(x/\log x).}
[ 4]
Referenser
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia , Dickman function , 5 februari 2014 .
Noter
