Lamberts W-funktion

Graf av W₀(x) för -1/e ≤ x ≤ 4

Lamberts W-funktion är en matematisk funktion som används för att lösa ekvationer innehållande logaritmer eller exponentialfunktioner som inte kan elimineras algebraiskt. Den betecknas W och definieras som inversen till funktionen

${\displaystyle f(w)=we^{w}}$

där w är ett komplext tal och e^w betecknar exponentialfunktionen. Lamberts W-funktion är uppkallad efter den schweizisk-preussiske matematikern och fysikern Johann Heinrich Lambert.

Flervärdhet

Funktionen

${\displaystyle f(w)=we^{w}\,}$

är inte injektiv på (−∞, 0) och W är därför en flervärd funktion på [−1/e, 0). För reella argument x ≥ −1/e kan man med kravet w ≥ −1 definiera en entydig funktion W₀. Denna funktion uppfyller W₀(0) = 0 och W₀(−1/e) = −1.

Metod för ekvationslösning

Lamberts W-funktion uppfyller

${\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}\,}$

och kan därför tillämpas genom att man skriver om ekvationer på formen ${\displaystyle c=xe^{x}}$ där c är konstant, varefter lösningen ges av ${\displaystyle x=W(c)}$. Exempelvis kan ekvationen 2^t = 5t lösas genom omskrivningen

${\displaystyle 2^{t}=5t\Rightarrow }$

${\displaystyle 1=5te^{-t\log 2}\Rightarrow }$

${\displaystyle {\frac {-\log 2}{5}}=(-t\log 2)\,e^{(-t\log 2)}\Rightarrow }$

${\displaystyle -t\log 2=W\left({\frac {-\log 2}{5}}\right)\Rightarrow }$

${\displaystyle t={\frac {-W\left({\frac {-\log 2}{5}}\right)}{\log 2}}.}$

Specifika ekvationer och värden

De ekvivalenta ekvationerna ${\displaystyle x=\log x}$ och ${\displaystyle x=e^{x}}$ har lösningen

${\displaystyle x=-W(-1)\approx 0\mathrm {,} 31813-1\mathrm {,} 33724i.}$

Ekvationen ${\displaystyle x^{x}=z}$ löses av

${\displaystyle x={\frac {\log z}{W(\log z)}}=\exp \left(W(\log z)\right),}$

och det oändliga tornet av potenser

${\displaystyle c=z^{z^{z^{\cdots }}}\!}$

antar vid konvergens värdet

${\displaystyle c={\frac {W(-\log z)}{-\log z}}.}$

Några specifika värden är

${\displaystyle W\left(-\pi /2\right)=i\pi /2}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left({\frac {1}{e}}\leq a\leq e\right)}$

${\displaystyle W\left(-1/e\right)=-1}$

${\displaystyle W\left(-\log 2/2\right)=-\log 2}$

${\displaystyle W(0)=0\,}$

${\displaystyle W(e)=1\,}$

${\displaystyle W(1)=\Omega \,}$ (omegakonstanten)

${\displaystyle W\left(-1\right)\approx -0.31813-1.33723{\rm {i}}\,}$

${\displaystyle W'\left(0\right)=1\,}$.

Taylorserie

Maclaurinserien till Lamberts W-funktion kan beräknas utifrån den implicita ekvationen

${\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}\,}$

genom Lagranges inverteringssats. Resultatet är

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots }$

som enligt kvottestet har konvergensradien 1/e.

Mer allmänt, för ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} ,}$ är

${\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r(-n)^{n-r-1}}{(n-r)!}}\ x^{n}.}$

Derivata och primitiv funktion

Derivatan ges av

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}W(x)={\frac {W(x)}{x(1+W(x))}}}$.

Många uttryck innehållande Lamberts W-funktion kan integreras genom variabelsubstitutionen w = W(x), det vill säga x = w e^w. Speciellt gäller

${\displaystyle \int W(x)\,dx=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.}$

Differentialekvation

Lamberts W-funktion uppfyller differentialekvationen

${\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad z\neq -1/e.}$

Övriga formler

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;\mathrm {d} x=4{\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=2{\sqrt {2\pi }}}$

Tillväxt

En approximation av ${\displaystyle W_{0}(x)}$ för stora ${\displaystyle x}$ är

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}+O\left(\left({\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)^{2}\right).}$

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Lamberts W-funktion.
  Bilder & media