Struves funktion

Inom matematiken är Struves funktioner ${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)}$ en speciell funktion som definieras som lösningen y(x) av den icke-homogena Bessels differentialekvationen

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y={\frac {4{(x/2)}^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}}$

Funktionerna introducerades av Hermann Struve 1882. Det komplexa talet α är ordningen av Struves funktion och är ofta ett heltal. De modifierade Struvefunktionerna ${\displaystyle \mathbf {L} _{\alpha }(x)}$ definieras som

${\displaystyle -ie^{-i\alpha \pi /2}\mathbf {H} _{\alpha }(ix)}$.

Definitioner

Struvefunktionerna ${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)}$ kan definieras som den oändliga serien

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{\Gamma (m+{\frac {3}{2}})\Gamma (m+\alpha +{\frac {3}{2}})}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha +1}}$

där ${\displaystyle \Gamma (z)}$ är gammafunktionen.

De modifierade Struvefunktionerna ${\displaystyle \mathbf {L} _{\nu }(z)}$ kan definieras som serien

${\displaystyle \mathbf {L} _{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma ({\frac {3}{2}}+k)\Gamma ({\frac {3}{2}}+k+\nu )}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}}$

En alternativ definition för värden på α som satisfierar ${\displaystyle \operatorname {Re} \{\alpha \}>-1/2}$ är

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)={\frac {2{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{\pi /2}\sin(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }(\tau )d\tau .}$

Asymptotiska former

För stora x gäller

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{\alpha -1}+O\left({(x/2)}^{\alpha -3}\right)}$

där ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ är Neumanns funktion.

Egenskaper

Struvefunktionerna satisfierar följande relationer:

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha -1}(x)+\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}\mathbf {H} _{\alpha }(x)+{\frac {{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {3}{2}})}}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha -1}(x)-\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)=2{\frac {\mathrm {d} \mathbf {H} _{\alpha }}{\mathrm {d} x}}-{\frac {{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {3}{2}})}}.}$

Relation till andra funktioner

Struvefunktioner av heltalsordning kan uttryckas med hjälp av Webers funktion E_n och vice versa: om n är ett icke-negativt heltal är

${\displaystyle \mathbf {E} _{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (k+1/2)(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma (n-1/2-k)}}\mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{-n}(z)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (n-k-1/2)(z/2)^{-n+2k+1}}{\Gamma (k+3/2)}}\mathbf {H} _{-n}.}$

Struvefunktioner av ordning n+1/2 (där n är ett heltal) kan skrivas med hjälp av elementära funktioner. Om n är ett icke-negativt heltal är

${\displaystyle \mathbf {H} _{-n-1/2}(z)=(-1)^{n}J_{n+1/2}(z)}$

där högra sidan är en sfärisk Besselfunktion.

Struvefunktioner av alla ordningar är specialfall av generaliserade hypergeometriska serier ₁F₂ (som inte är Gauss hypergeometriska funktion ₂F₁) :

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha +1/2}}{{\sqrt {2\pi }}\Gamma (\alpha +3/2)}}{}_{1}F_{2}(1,3/2,\alpha +3/2,-z^{2}/4).}$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Struve function, 2 november 2013.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Struves funktion.
  Bilder & media