Если задано линейное отображение между двумя векторными пространствами и , то ядро отображения — это векторное пространство всех элементов пространства , таких что , где обозначает нулевой вектор из [3]:
Свойства
Для ядра линейного отображения определены следующие свойства:
В линейном отображении два элемента V имеют один и тот же образ в тогда и только тогда, когда их разность лежит в ядре отображения :
Понятие ядра также имеет смысл для гомоморфизмовмодулей, которые являются обобщениями векторных пространств, где скаляры — элементы кольца, а не поля. Область определения отображения — это модуль с ядром, образующий подмодуль. Здесь концепции ранга и размерности ядра не имеют значения.
Рассмотрим линейное отображение, представленное матрицей размера с коэффициентами из поля (обычно из или ), то есть оперирующие с вектор-столбцами с элементами из поля .
Ядро этого линейного отображения — это множество решений уравнения , где понимается как нулевой вектор. Размерность ядра матрицы называется дефектом матрицы . В виде операций на множествах,
Произведение может быть записано в терминах скалярного произведения векторов следующим образом:
Здесь означают строки матрицы . Отсюда следует, что принадлежит ядру матрицы тогда и только тогда, когда вектор ортогонален (перпендикулярен) каждой из вектор-строк матрицы (поскольку ортогональность определяется как равенство нулю скалярного произведения).
Пространство строк, или кообраз матрицы , — это линейная оболочка вектор-строк матрицы . По указанным выше причинам ядро матрицы является ортогональным дополнением пространству строк. То есть вектор лежит в ядре матрицы тогда и только тогда, когда он перпендикулярен любому вектору из пространства строк матрицы .
Размерность пространства строк матрицы называется рангом матрицы , а размерность ядра матрицы называется дефектом матрицы . Эти величины связаны теоремой о ранге и дефекте[англ.]
Левое нуль-пространство или коядро матрицы состоит из всех векторов , таких что , где обозначает транспонирование матрицы. Левое нуль-пространство матрицы — это то же самое, что и ядро матрицы . Левое нуль-пространство матрицы является ортогональным дополнением пространству столбцов матрицы и двойственно коядру связанного линейного преобразования. Ядро, пространство строк, пространство столбцов
и левое нуль-пространство матрицы являются четырьмя фундаментальными подпространствами, ассоциированными с матрицей .
Неоднородные системы линейных уравнений
Ядро играет также большую роль при решении неоднородных систем линейных уравнений:
Пусть векторы и являются решениями уравнения выше, тогда
Таким образом, разность любых двух решений системы лежит в ядре матрицы .
Отсюда следует, что любое решение уравнения может быть выражено как сумма фиксированного решения и какого-либо элемента ядра. То есть множеством решений уравнения является
Ниже приведена простая иллюстрация вычисления ядра матрицы (также см. Вычисление методом Гаусса ниже для метода, более подходящего для более сложных вычислений). Иллюстрация затрагивает также пространства строк и их связь с ядром.
Рассмотрим матрицу
Ядро этой матрицы состоит из всех векторов , для которых
Те же самые равенства можно выписать в матричном виде:
С помощью метода Гаусса матрица может быть сведена к:
Преобразование матрицы в уравнения даёт:
Элементы ядра можно выразить в параметрическом виде следующим образом:
Поскольку является свободной переменной[англ.], пробегающей по всем вещественным числам, это выражение можно эквивалентно переписать в виде:
Ядро матрицы — это в точности множество решений этих уравнений (в этом случае прямая через начало координат в ). Здесь вектор (−1,−26,16)T образует базис ядра матрицы . Дефект матрицы равен 1.
Следующие скалярные произведения равны нулю:
что показывает, что вектора ядра матрицы ортогональны каждой вектор-строке матрицы .
Линейная оболочка этих двух (линейно независимых) векторов-строк — это плоскость, ортогональная вектору .
Поскольку ранг матрицы равен 2, размерность ядра матрицы равна 1, а размерность матрицы равна 3, мы имеем иллюстрацию теоремы о ранге и дефекте.
Примеры
Если , то ядром отображения является множество решений однородной системы линейных уравнений. Как в иллюстрации выше, если является оператором:
,
то ядром оператора L является множество решений системы
Пусть обозначает векторное пространство всех непрерывных вещественных функций на интервале [0,1]. Определим правилом
Тогда ядро of L состоит из всех функций , для которых.
Пусть будет векторным пространством всех бесконечно дифференцируемых функций и пусть будет оператором дифференцирования:
Тогда ядро of D состоит из всех функций в , производная которых равна нулю, то есть из всех постоянных функций.
Если вычислим ступенчатый по столбцам вид матрицы методом Гаусса (или любым другим подходящим методом), мы получим матрицу Базис ядра матрицы состоит из ненулевых столбцов матрицы , таких что соответствующие столбцы матрицы a нулевые.
Фактически вычисление может быть остановлено, как только матрица принимает ступенчатый по столбцам вид — остальное вычисление состоит из изменения базиса векторного пространства, образованного столбцами, верхняя часть которых равна нулю.
Например, представим, что
Тогда
Если привести верхнюю часть с помощью операций над столбцами к ступенчатому виду, получим
Последние три столбца матрицы нулевые. Поэтому три последних вектора матрицы ,
являются базисом ядра матрицы .
Доказательство, что метод вычисляет ядро: поскольку операции над столбцами соответствуют умножению справа на обратимую матрицу, из факта, что сводится к вытекает, что существует обратимая матрица , такая что где имеет ступенчатый вид. Тогда и Вектор-столбец принадлежит ядру матрицы (то есть ) тогда и только тогда, когда где Так как имеет ступенчатый вид, тогда и только тогда, когда ненулевые элементы соответствуют нулевым столбцам матрицы После умножения на можно сделать вывод, что это случается тогда и только тогда, когда является линейной комбинацией соответствующих столбцов матрицы
Численные вычисления
Задача вычисления ядра на компьютере зависит от природы коэффициентов.
Для коэффициентов из конечного поля метод Гаусса работает хорошо, но для больших матриц, которые случаются в криптографии и при вычислении базиса Грёбнера, известны более эффективные алгоритмы, которые имеют почти ту же вычислительную сложность, но работают быстрее и более подходят для современных компьютерных устройств.
Вычисления с плавающей точкой
Для матриц, элементами которых служат числа с плавающей запятой, задача вычисления ядра имеет смысл только для матриц, число строк которых равно её рангу — ввиду ошибок округления[англ.] матрицы с плавающими значениями почти всегда имеют полный ранг, даже когда они являются аппроксимацией матрицы много меньшего ранга. Даже для матрицы полного ранга можно вычислить её ядро только тогда, когда она хорошо обусловлена, то есть имеет низкое число обусловленности[5].
И для хорошо обусловленной матрицы полного ранга метод Гаусса не ведёт себя корректно: ошибки округления слишком велики для получения значимого результата. Так как вычисление ядра матрицы является специальным случаем решения однородной системы линейных уравнений, ядро может быть вычислено любым алгоритмом, предназначенным для решения однородных систем. Передовым программным обеспечением для этих целей является библиотека Lapack.
Ошибка в сносках?: Тег <ref> с именем «TB», определённый в <references>, не используется в предшествующем тексте.
Литература
Sheldon Jay Axler. Linear Algebra Done Right. — 2nd. — Springer-Verlag, 1997. — ISBN 0-387-98259-0.
Гилберт Стренг. Линейная алгебра и её применение. — Москва: «Мир», 1980.
David C. Lay. Linear Algebra and Its Applications. — 3rd. — Addison Wesley, 2005. — ISBN 978-0-321-28713-7.
Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. — Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2001. — ISBN 978-0-89871-454-8. Архивировано 31 октября 2009 года.
David Poole. Linear Algebra: A Modern Introduction. — 2nd. — Brooks/Cole, 2006. — ISBN 0-534-99845-3.
Howard Anton. Elementary Linear Algebra (Applications Version). — 9th. — Wiley International, 2005.