Оператор сдвига

Эта статья — об операторе сдвига в математике. Об операторах в языках программирования см. Битовая операция.

В математике, и, в частности, в функциональном анализе, оператор сдвига, также известный как оператор трансляции, — это оператор, который переводит функцию x ↦ f(x) в её трансляцию x ↦ f(x + a)[1]. В анализе временных рядов оператор сдвига называется лаговым оператором.

Операторы сдвига являются примерами линейных операторов, важных своей простотой и естественной распространённостью. Действие оператора сдвига на функции вещественного переменного играет важную роль в гармоническом анализе, например, он встречается в определениях почти периодических функций, положительно-определённых функций, производных и свёртки[2]. Сдвиги последовательностей (функций целого переменного) появляются в различных областях, таких как пространства Харди, теория абелевых многообразий и теория символической динамики, для которых отображение пекаря является явным представлением.

Определение

Функции вещественной переменной

Оператор сдвига T^t (где t ∈ R) переводит функцию f на R в её трансляцию f_t ,

${\displaystyle T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.}$

В операционном исчислении, практическое представление линейного оператора T^t в терминах простой производной d/dx было введено Лагранжем,

${\displaystyle T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,}$

что может быть интерпретировано операционально через формальное разложение Тейлора по t; по биному Ньютона очевидно действие оператора на одночлен x^n, и, следовательно, на все ряды по x, а значит, и на все функции f(x), как указано выше[3]. Таким образом, формально это кодировка разложения Тейлора в исчислении Хевисайда.

Таким образом, оператор является прототипом[4] адвективного потока Ли для абелевых групп,

${\displaystyle e^{t\beta (x){\frac {d}{dx}}}f(x)=e^{t{\frac {d}{dh}}}F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),}$

где канонические координаты h (функции Абеля) определены так, что

${\displaystyle h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).}$

Например, из этого легко следует, что ${\displaystyle \beta (x)=x}$ даёт масштабирование,

${\displaystyle e^{tx{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(e^{t}x),}$

следовательно ${\displaystyle e^{i\pi x{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(-x)}$ (чётность); аналогично, ${\displaystyle \beta (x)=x^{2}}$ даёт[5]

${\displaystyle e^{tx^{2}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)=1/x}$ даёт

${\displaystyle e^{{\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)=e^{x}}$ даёт

${\displaystyle \exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),}$

и т.д.

Начальное условие потока и свойство группы полностью определяют весь поток Ли, предоставляя решение функционального уравнения трансляции[6]

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).}$

Последовательности

Оператор левого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

${\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )}$

и на двухсторонние бесконечные последовательности чисел:

${\displaystyle T:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k=-\infty }^{\infty }.}$

Оператор правого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

${\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}$

и на двусторонние бесконечные последовательности:

${\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k=-\infty }^{\infty }.}$

Операторы сдвига вправо и влево, действующие на двусторонние бесконечные последовательности, называются двусторонними сдвигами.

Абелевы группы

В целом, как было показано выше, если F есть функция абелевой группы G, а h есть элемент из G, то оператор сдвига T ^g отображает F в[6][7]

${\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}$

Свойства оператора сдвига

Оператор сдвига, действующий на вещественные или комплекснозначные функции или последовательности, является линейным оператором, сохраняющим большинство стандартных норм, которые встречаются в функциональном анализе. Поэтому он обычно является непрерывным оператором с 1-нормой.

Действие на гильбертовых пространствах

Оператор сдвига, действующий на двусторонние последовательности, является унитарным оператором на ℓ₂(Z). Оператор сдвига, действующий на функции вещественного переменного, является унитарным оператором на L₂(R).

В обоих случаях (левый) оператор сдвига удовлетворяет следующему коммутативному соотношению с преобразованием Фурье:$${\displaystyle {\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},}$$где M^t — оператор умножения^[англ.] на exp(itx). Поэтому спектр T^t — единичный круг.

Односторонний сдвиг S, действующий на ℓ₂(N), является собственной изометрией с областью значений функции, равной всем векторам, которые исчезают в первой координате. Оператор S является сжатием T^-1, в том смысле, что$${\displaystyle T^{-1}y=Sx{\text{, }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$$где y — вектор в ℓ₂(Z) с y_i = x_i для i ≥ 0 и y_i = 0 для i < 0. Это наблюдение лежит в основе построения многих унитарных расширений изометрий.

Спектр S — это единичный диск. Сдвиг S является одним из примеров оператора Фредгольма; он имеет индекс Фредгольма -1.

Обобщение

Жан Дельсарт ввёл понятие обобщённого оператора сдвига (также называемого обобщённым оператором смещения); в дальнейшем оно было развито Борисом Левитаном[2][8][9].

Семейство операторов {L^x}_{x ∈ X}, действующих на пространстве Φ функций из множества X в C, называется семейством обобщённых операторов сдвига, если выполняются следующие свойства:

1. Ассоциативность: пусть (R^yf)(x) = (L^xf)(y). Тогда L^xR^y = R^yL^x.
2. Существует e в X такое, что L^e — оператор тождества.

В этом случае множество X называется гипергруппой.

См. также

• Арифметический (знаковый) сдвиг
• Логический (беззнаковый) сдвиг
• Конечные разности
• Оператор импульса

Примечания

1. Weisstein, Eric W. Shift Operator (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. Marchenko, V. A. The generalized shift, transformation operators, and inverse problems // Mathematical events of the twentieth century. — Berlin : Springer, 2006. — P. 145–162. — doi:10.1007/3-540-29462-7_8.
3. Jordan, Charles, (1939/1965). Calculus of Finite Differences, (AMS Chelsea Publishing), ISBN 978-0828400336 .
4. M Hamermesh (1989), Group Theory and Its Application to Physical Problems (Dover Books on Physics), Hamermesh ISBM 978-0486661810, Ch 8-6, pp 294-5, online Архивная копия от 19 февраля 2023 на Wayback Machine.
5. с. 75 Georg Scheffers (1891): Sophus Lie, Vorlesungen Ueber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen, Teubner, Leipzig, 1891. ISBN 978-3743343078 online
6. Aczel, J (2006), Lectures on Functional Equations and Their Applications (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, ISBN 978-0486445236 .
7. "A one-parameter continuous group is equivalent to a group of translations". M Hamermesh, ibid.
8. Levitan, B.M.; Litvinov, G.L. (2001), "Generalized displacement operators", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
9. Bredikhina, E.A. (2001), "Almost-periodic function", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Литература

• Partington, Jonathan R. Linear Operators and Linear Systems. — Cambridge University Press, March 15, 2004. — ISBN 978-0-521-83734-7. — doi:10.1017/cbo9780511616693.
• Marvin Rosenblum and James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory, (1985) Oxford University Press.