Область значений функции

О́бласть значе́ний (или мно́жество значе́ний) фу́нкции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция[1][2][3].

Определение

Пусть на множестве ${\displaystyle X}$ задана функция ${\displaystyle f}$, которая отображает множество ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$, то есть: ${\displaystyle f:X\to Y}$. Тогда областью (или множеством) значений функции ${\displaystyle f}$ называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества ${\displaystyle Y}$ и обозначается ${\displaystyle f(X)}$, ${\displaystyle E(f)}$, ${\displaystyle R(f)}$ или ${\displaystyle \mathrm {ran} \,f}$ (от англ. range):

${\displaystyle f(X)=\{y\in Y|\,y=f(x),\,x\in X\}}$.

Способы нахождения областей значений некоторых функций

• последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
• метод оценок;
• использование свойств непрерывности и монотонности функции;
• использование производной;
• использование наибольшего и наименьшего значений функции;
• графический метод;
• метод введения параметра;
• метод обратной функции.

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называется её кодомен, то есть множество ${\displaystyle Y}$ в обозначении функции ${\displaystyle f:X\to Y}$[4], а множеством значений функции называется совокупность всех значений ${\displaystyle f(X)}$ функции ${\displaystyle f}$.

Множество значений ${\displaystyle f(X)}$ называется также образом множества ${\displaystyle X}$ при отображении ${\displaystyle f}$.

Иногда множество значений функции называют областью изменения функции[3].

См. также

• Область определения функции

Примечания

1. Рудин У.. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. — С. 32. — 318 с.
2. Зорич В. А. . Математический анализ. Часть I. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 14. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.
3. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. . Математический анализ. — М.: МГУ, 1985. — С. 66, 106, 450. — 720 с.
4. Г. Е. Шилов. Математический анализ. Функции одного переменного. Части 1 — 2. — М.: Наука, 1969. — С. 65—69. — 528 с.

Литература

• Натансон И. П., Сидоров Ю. В. Функция // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов и др. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 615—617. — 847 с. — 150 000 экз.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• Лавров И. А., Максимова Л. Л.. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В.. Глава 1. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд. — М.: Наука, 1972. — С. 14—18. — 256 с.
• Келли Дж. Л.. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
• Зорич В. А.. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23—36. — 544 с.
• Колмогоров А. Н. Что такое функция // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1970. — № 1. — С. 27—36. — ISSN 0130-2221.