Números de Stirling do segundo tipo

As 15 partições de um conjunto de 4 elementos ordenados em um diagrama de Hasse

Existem S(4,1), ... , S (4, 4) = 1, 7, 6, 1 partições contendo 1, 2, 3, 4 conjuntos.

Em matemática, particularmente em combinatória, um número de Stirling do segundo tipo (ou número de partição de Stirling) é o número de maneiras de particionar um conjunto de n objetos em k subconjuntos não vazios e é denotado por ${\displaystyle S(n,k)}$ ou ${\displaystyle \textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$.[1] Os números de Stirling do segundo tipo ocorrem no campo da matemática chamado combinatória e no estudo de partições. Eles receberam o nome de James Stirling.

Definição

Os números de Stirling do segundo tipo, escritos S(n,k) ou ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace }$ ou com outras notações, conta a quantidade de maneiras de particionar um conjunto de n objetos rotulados em k subconjuntos não vazios não rotulados. De forma equivalente, eles contam o número de diferentes relações de equivalência com k classes de equivalência que podem ser definidas em um elemento de conjunto n. De fato, há uma bijeção entre o conjunto de partições e o conjunto de relações de equivalência em um determinado conjunto. Obviamente,

${\displaystyle \left\{{n \atop n}\right\}=1}$ para n ≥ 0, e ${\displaystyle \left\{{n \atop 1}\right\}=1}$ para n ≥ 1,

como a única maneira de particionar um conjunto de n elementos em n partes é colocar cada elemento do conjunto em sua própria parte, e a única maneira de particionar um conjunto não vazio em uma parte é colocar todos os elementos na mesma parte. Ao contrário dos números de Stirling do primeiro tipo, eles podem ser calculados usando uma fórmula de soma única:[2]

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}i^{n}=\sum _{i=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-i}i^{n}}{(k-i)!i!}}.}$

Os números de Stirling do primeiro tipo podem ser caracterizados como os números que surgem quando se expressam potências de um x indeterminado em termos de fatoriais decrescentes[3]

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).}$

(Em particular, (x)₀=1 porque é um produto vazio).

Os números de Stirling do segundo tipo satisfazem a relação

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}.}$

Notação

Várias notações foram usadas para números de Stirling do segundo tipo. A notação de chaves ${\textstyle \textstyle \lbrace {n \atop k}\rbrace }$ foi usado por Imanuel Marx e Antonio Salmeri em 1962 para variantes desses números.[4][5] Isso levou Knuth a usá-lo, como mostrado aqui, no primeiro volume de The Art of Computer Programming (1968).[6][7] De acordo com a terceira edição de The Art of Computer Programming, esta notação também foi usada anteriormente por Jovan Karamata em 1935.[8][9] A notação S(n,k) foi usada por Richard Stanley em seu livro Enumerative Combinatorics e também, muito antes, por muitos outros escritores.[6]

As notações usadas nesta página para números de Stirling não são universais e podem entrar em conflito com notações de outras fontes.

Relação com os números de Bell

Desde o número de Stirling ${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}}$ conta partições definidas de um conjunto de n elementos em k partes, a soma

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}}$

sobre todos os valores de k é o número total de partições de um conjunto com n membros. Este número é conhecido como o n- ésimo número de Bell .

Analogamente, os números de Bell ordenados podem ser calculados a partir dos números de Stirling do segundo tipo via

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}k!\left\{{n \atop k}\right\}.}$ [10]

Tabela de valores

Abaixo está uma matriz triangular de valores para os números de Stirling do segundo tipo (sequência A008277 na OEIS)  :

k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
7	0	1	63	301	350	140	21	1
8	0	1	127	966	1701	1050	266	28	1
9	0	1	255	3025	7770	6951	2646	462	36	1
10	0	1	511	9330	34105	42525	22827	5880	750	45	1

Assim como os coeficientes binomiais, esta tabela poderia ser estendida para k > n, mas todas as entradas seriam 0.

Propriedades

Relação de recorrência

Os números de Stirling do segundo tipo obedecem à relação de recorrência

${\displaystyle \left\{{n+1 \atop k}\right\}=k\left\{{n \atop k}\right\}+\left\{{n \atop k-1}\right\}\quad {\text{, para}}\;0<k<n}$

com condições iniciais

${\displaystyle \left\{{n \atop n}\right\}=1\quad {\text{, para}}\;n\geq 0{\text{ ,}}\quad {\text{ e }}\quad \left\{{n \atop 0}\right\}=\left\{{0 \atop n}\right\}=0\quad {\text{, para }}n>0{\text{.}}}$

Por exemplo, o número 25 na coluna k = 3 e linha n = 5 é dado por 25 = 7 + (3×6), onde 7 é o número acima e à esquerda de 25, 6 é o número acima de 25 e 3 é a coluna que contém o 6.

Para provar esta recorrência, observe que uma partição dos n + 1 objetos em k subconjuntos não vazios ou contém o (n + 1)-ésimo objeto como um elemento único ou não. O número de maneiras pelas quais o elemento único é um dos subconjuntos é dado por

${\displaystyle \left\{{n \atop k-1}\right\}}$

já que devemos particionar os n objetos restantes nos disponíveis k - 1 subconjuntos. No outro caso o (n + 1)-ésimo objeto pertence a um subconjunto contendo outros objetos. O número de maneiras é dado por

${\displaystyle k\left\{{n \atop k}\right\}}$

já que particionamos todos os objetos, exceto o (n + 1)-ésimo em k subconjuntos, e então ficamos com k opções para inserir o objeto n + 1 . A soma desses dois valores fornece o resultado desejado.

Outra relação de recorrência é dada por

${\displaystyle \left\lbrace {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rbrace ={\frac {k^{n}}{k!}}-\sum _{r=1}^{k-1}{\frac {\left\lbrace {\begin{matrix}n\\r\end{matrix}}\right\rbrace }{(k-r)!}}.}$

que decorre da avaliação ${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}\left\{{n \atop r}\right\}(x)_{r}=x^{n}}$ no ${\displaystyle x=k}$ .

Identidades simples

Algumas identidades simples incluem

${\displaystyle \left\{{n \atop n-1}\right\}={\binom {n}{2}}.}$

Isso ocorre porque dividir n elementos em n − 1 conjunto significa necessariamente dividi-lo em um conjunto de tamanho 2 e n − 2 conjuntos de tamanho 1. Portanto, precisamos apenas escolher esses dois elementos;

e

${\displaystyle \left\{{n \atop 2}\right\}=2^{n-1}-1.}$

Para ver isso, primeiro observe que há 2^n pares ordenados de subconjuntos complementares A e B. Em um caso, A é vazio e, em outro, B é vazio, então restam 2^n − 2 pares ordenados de subconjuntos. Por fim, como queremos pares não ordenados em vez de pares ordenados, dividimos esse último número por 2, obtendo o resultado acima.

Outra expansão explícita da relação de recorrência fornece identidades na mesma forma do exemplo acima.

Identidades

A tabela na seção 6.1 de Matemática Concreta fornece uma infinidade de formas generalizadas de somas finitas envolvendo os números de Stirling. Várias somas finitas relevantes para este artigo incluem

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}&=\sum _{j=k}^{n}{n \choose j}\left\{{j \atop k}\right\}\\\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}&=\sum _{j=k}^{n}(k+1)^{n-j}\left\{{j \atop k}\right\}\\\left\{{n+k+1 \atop k}\right\}&=\sum _{j=0}^{k}j\left\{{n+j \atop j}\right\}\\\left\{{n \atop \ell +m}\right\}{\binom {\ell +m}{\ell }}&=\sum _{k}\left\{{k \atop \ell }\right\}\left\{{n-k \atop m}\right\}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}}$

Fórmula explícita

Os números de Stirling do segundo tipo são dados pela fórmula explícita:

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}=\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}j^{n}}{(k-j)!j!}}.}$

Isso pode ser derivado usando inclusão-exclusão para contar as sobreposições de n a k e usando o fato de que o número dessas sobreposições é ${\textstyle k!\left\{{n \atop k}\right\}}$ .

Além disso, esta fórmula é um caso especial da k-ésima diferença direta do monômio ${\displaystyle x^{n}}$ avaliado em x = 0:

${\displaystyle \Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.}$

Como os polinômios de Bernoulli podem ser escritos em termos dessas diferenças diretas, obtém-se imediatamente uma relação nos números de Bernoulli :

${\displaystyle B_{m}(0)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {(-1)^{k}k!}{k+1}}\left\{{m \atop k}\right\}.}$

A avaliação do exponencialmente incompleto polinômio de Bell B_n,k(x₁, x₂, ...) na sequência de 1's é igual a um número de Stirling do segundo tipo:

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}=B_{n,k}(1,1,\dots ,1).}$

Outra fórmula explícita fornecida no Manual de Funções Matemáticas do NIST é

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}=\sum _{\begin{array}{c}c_{1}+\ldots +c_{k}=n-k\\c_{1},\ldots ,\ c_{k}\ \geq \ 0\end{array}}1^{c_{1}}2^{c_{2}}\cdots k^{c_{k}}}$

Paridade

Paridade dos números de Stirling do segundo tipo

A paridade de um número de Stirling do segundo tipo é a mesma que a paridade de um coeficiente binomial relacionado:

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}\equiv {\binom {z}{w}}\ {\pmod {2}},}$ onde ${\displaystyle z=n-\left\lceil \displaystyle {\frac {k+1}{2}}\right\rceil ,\ w=\left\lfloor \displaystyle {\frac {k-1}{2}}\right\rfloor .}$

onde a mod b denota o resto da divisão inteira de a por b.

Essa relação é especificada pelo mapeamento das coordenadas n e k no triângulo de Sierpiński.

Mais diretamente, deixe dois conjuntos conterem posições de 1's em representações binárias de resultados de expressões respectivas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} :\ \sum _{i\in \mathbb {A} }2^{i}&=n-k,\\\mathbb {B} :\ \sum _{j\in \mathbb {B} }2^{j}&=\left\lfloor {\dfrac {k-1}{2}}\right\rfloor .\\\end{aligned}}}$

É possível imitar uma operação AND bit a bit interseccionando esses dois conjuntos:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}\,{\bmod {\,}}2={\begin{cases}0,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} \neq \emptyset ;\\1,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} =\emptyset ;\end{cases}}}$

onde a mod b denota o resto da divisão inteira de a por b;

para obter a paridade de um número de Stirling de segunda espécie em tempo O (1). Em pseudocódigo:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}\,{\bmod {\,}}2:=\left[\left(\left(n-k\right)\ \And \ \left(\left(k-1\right)\,\mathrm {div} \,2\right)\right)=0\right];}$

onde a div b denota a divisão inteira de a por b;

onde ${\displaystyle \left[b\right]}$ é o colchete de Iverson.

A paridade de um número Stirling central do segundo tipo ${\displaystyle \textstyle \left\{{2n \atop n}\right\}}$ é ímpar se e somente se ${\displaystyle n}$ é um número fibinário, um número cuja representação binária não possui dois 1s consecutivos.[11]

Gerando funções

Para um inteiro fixo n, a função geradora ordinária para números de Stirling do segundo tipo ${\displaystyle \left\{{n \atop 0}\right\},\left\{{n \atop 1}\right\},\ldots }$ é dada por

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}=T_{n}(x),}$

onde ${\displaystyle T_{n}(x)}$ são polinômios de Touchard. Se somarmos os números de Stirling em relação ao fatorial decrescente, podemos mostrar as seguintes identidades, entre outras:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}}$

e

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}\left\{{n+1 \atop k}\right\}(x-1)_{k-1}=x^{n},}$

que tem como caso especial

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(n)_{k}=n^{n}}$

Para um inteiro fixo k, os números de Stirling do segundo tipo têm função geradora ordinária racional

${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}x^{n-k}=\prod _{r=1}^{k}{\frac {1}{1-rx}}={\frac {1}{x^{k+1}(1/x)_{k+1}}}}$

e tem uma função geradora exponencial dada por

${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}{\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {(e^{x}-1)^{k}}{k!}}.}$

Uma função geradora bivariada mista para os números de Stirling do segundo tipo é

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}{\frac {x^{n}}{n!}}y^{k}=e^{y(e^{x}-1)}.}$

Limites inferior e superior

Se ${\displaystyle n\geq 2}$ e ${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$, então

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(k^{2}+k+2)k^{n-k-1}-1\leq \left\{{n \atop k}\right\}\leq {\frac {1}{2}}{n \choose k}k^{n-k}}$ [12]

Aproximação assintótica

Para valor fixo de ${\displaystyle k,}$ o valor assintótico dos números de Stirling do segundo tipo como ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ é dado por

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {k^{n}}{k!}}.}$

Se ${\displaystyle k=o({\sqrt {n}})}$ (onde o denota a pequena notação o ) então

${\displaystyle \left\{{n+k \atop n}\right\}{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {n^{2k}}{2^{k}k!}}.}$ [13]

Também existe uma aproximação uniformemente válida: para todo k tal que 1 < k < n, obtem-se

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}\sim {\sqrt {\frac {v-1}{v(1-G)}}}\left({\frac {v-1}{v-G}}\right)^{n-k}{\frac {k^{n}}{n^{k}}}e^{k(1-G)}\left({n \atop k}\right),}$

onde ${\displaystyle v=n/k}$, e ${\displaystyle G\in (0,1)}$ é a solução única para ${\displaystyle G=ve^{G-v}}$.[14] O erro relativo é limitado por cerca de ${\displaystyle 0.066/n}$ .

Uni-modalidade

Para fixo ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}}$ é uni-modal, ou seja, a sequência aumenta e depois diminui. O máximo é atingido para no máximo dois valores consecutivos de k. Ou seja, existe um inteiro ${\displaystyle k_{n}}$ tal que

${\displaystyle \left\{{n \atop 1}\right\}<\left\{{n \atop 2}\right\}<\cdots <\left\{{n \atop k_{n}}\right\}\geq \left\{{n \atop k_{n}+1}\right\}>\cdots >\left\{{n \atop n}\right\}.}$

Olhando para a tabela de valores acima, os primeiros valores para ${\displaystyle k_{n}}$ são 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, ...

Quando ${\displaystyle n}$ é grande

${\displaystyle k_{n}{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {n}{\log n}},}$

o valor máximo do número de Stirling pode ser aproximado com

${\displaystyle \log \left\{{n \atop k_{n}}\right\}=n\log n-n\log \log n-n+O(n\log \log n/\log n).}$ [12]

Aplicações

Momentos da distribuição de Poisson

Se X é uma variável aleatória com uma distribuição de Poisson com valor esperado λ, então seu n -ésimo momento é

${\displaystyle E(X^{n})=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\lambda ^{k}.}$

Em particular, o n-ésimo momento da distribuição de Poisson com valor esperado 1 é precisamente o número de partições de um conjunto de tamanho n, ou seja, é o n-ésimo número de Bell (este fato é a fórmula de Dobiński ).

Momentos de pontos fixos de permutações aleatórias

Seja a variável aleatória X o número de pontos fixos de uma permutação aleatória uniformemente distribuída de um conjunto finito de tamanho m. Então o n-ésimo momento de X é

${\displaystyle E(X^{n})=\sum _{k=0}^{m}\left\{{n \atop k}\right\}.}$

Observação: O limite superior da soma é m, não n.

Em outras palavras, o n-ésimo momento dessa distribuição de probabilidade é o número de partições de um conjunto de tamanho n em não mais que m partes. Isso é provado no artigo sobre estatísticas de permutação aleatória, embora a notação seja um pouco diferente.

Esquemas de rima

Os números de Stirling do segundo tipo podem representar o número total de esquemas de rima para um poema de n linhas. ${\displaystyle S(n,k)}$ fornece o número de métricas possíveis para n linhas usando k sílabas rimadas únicas. Por exemplo, para um poema de 3 versos, há 1 esquema de rima usando apenas uma rima (aaa), 3 esquemas de rima usando duas rimas (aab, aba, abb) e 1 esquema de rima usando três rimas (abc).

Variantes

Números de r-Stirling do segundo tipo

O número r-Stirling do segundo tipo ${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}_{r}}$ conta o número de partições de um conjunto de n objetos em k subconjuntos disjuntos não vazios, de modo que os primeiros r elementos estejam em subconjuntos distintos.[15] Esses números satisfazem a relação de recorrência

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}_{r}=k\left\{{n-1 \atop k}\right\}_{r}+\left\{{n-1 \atop k-1}\right\}_{r}}$

Algumas identidades combinatórias e uma conexão entre esses números e gramáticas livres de contexto podem ser encontradas em.[16]

Números associados de Stirling do segundo tipo

Um número de Stirling associado a r do segundo tipo é o número de maneiras de particionar um conjunto de n objetos em k subconjuntos, com cada subconjunto contendo pelo menos r elementos.[17] É denotado por ${\displaystyle S_{r}(n,k)}$ e obedece a relação de recorrência

${\displaystyle S_{r}(n+1,k)=k\ S_{r}(n,k)+{\binom {n}{r-1}}S_{r}(n-r+1,k-1)}$

Os números associados a 2 (sequência A008299 na OEIS) aparecem em outros lugares como "números de Ward" e como as magnitudes dos coeficientes dos polinômios de Mahler.

Números de Stirling reduzidos do segundo tipo

Denote os n objetos a serem particionados pelos inteiros 1, 2, ..., n. Defina os números de Stirling reduzidos do segundo tipo, denotados ${\displaystyle S^{d}(n,k)}$, para serem o número de maneiras de particionar os inteiros 1, 2, ..., n em k subconjuntos não vazios, de modo que todos os elementos em cada subconjunto tenham uma distância em pares de pelo menos d. Ou seja, para quaisquer inteiros i e j em um determinado subconjunto, é necessário que ${\displaystyle |i-j|\geq d}$ . Foi demonstrado que estes números satisfazem

${\displaystyle S^{d}(n,k)=S(n-d+1,k-d+1),n\geq k\geq d}$

(daí o nome "reduzido").[18] Observe (tanto pela definição quanto pela fórmula de redução) que ${\displaystyle S^{1}(n,k)=S(n,k)}$, os familiares números de Stirling do segundo tipo.

Referências

1. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison–Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, p. 244.
2. «Stirling Numbers of the Second Kind, Theorem 3.4.1» 
3. Confusingly, the notation that combinatorialists use for falling factorials coincides with the notation used in special functions for rising factorials; see Pochhammer symbol.
4. Transformation of Series by a Variant of Stirling's Numbers, Imanuel Marx, The American Mathematical Monthly 69, #6 (June–July 1962), pp. 530–532, JSTOR 2311194.
5. Antonio Salmeri, Introduzione alla teoria dei coefficienti fattoriali, Giornale di Matematiche di Battaglini 90 (1962), pp. 44–54.
6. Knuth, D.E. (1992), «Two notes on notation», Amer. Math. Monthly, 99 (5): 403–422, Bibcode:1992math......5211K, arXiv:math/9205211, doi:10.2307/2325085 
7. Donald E. Knuth, Fundamental Algorithms, Reading, Mass.: Addison–Wesley, 1968.
8. p. 66, Donald E. Knuth, Fundamental Algorithms, 3rd ed., Reading, Mass.: Addison–Wesley, 1997.
9. Jovan Karamata, Théorèmes sur la sommabilité exponentielle et d'autres sommabilités s'y rattachant, Mathematica (Cluj) 9 (1935), pp, 164–178.
10. Sprugnoli, Renzo (1994), «Riordan arrays and combinatorial sums» (PDF), Discrete Mathematics, 132 (1–3): 267–290, MR 1297386, doi:10.1016/0012-365X(92)00570-H 
11. Chan, O-Yeat; Manna, Dante (2010), «Congruences for Stirling numbers of the second kind» (PDF), Gems in Experimental Mathematics, Contemporary Mathematics, 517, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 97–111, MR 2731094, doi:10.1090/conm/517/10135 
12. Rennie, B.C.; Dobson, A.J. (1969). «On stirling numbers of the second kind». Journal of Combinatorial Theory. 7 (2): 116–121. ISSN 0021-9800. doi:10.1016/S0021-9800(69)80045-1 
13. L. C. Hsu, Note on an Asymptotic Expansion of the nth Difference of Zero, AMS Vol.19 NO.2 1948, pp. 273--277
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