Um número heptagonal é um número poligonal que representa um heptágono . O n -ésimo número heptagonal é dado pela fórmula:
:
5
n
2
−
3
n
2
{\displaystyle {\frac {5n^{2}-3n}{2}}}
Os 5 primeiros números heptagonais. Os primeiros números heptagonais são:
1 , 7 , 18 , 34 , 55 , 81 , 112 , 148 , 189 , 235 , 286, 342, 403, 469, 540, 616 , 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782, … (sequência A000566 OEIS )
Paridade
A paridade dos números heptagonais segue a sequência ímpar - ímpar - par - par. O quíntuplo de um número heptagonal adicionado de 1 é um número triangular .
Um número heptagonal generalizado é obtido a partir da fórmula
:
T
n
+
T
⌊
n
2
⌋
,
{\displaystyle T_{n}+T_{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor },}
onde T n n' -ésimo número triangular.Os primeiros números heptagonais são:
1, 4 , 7, 13 , 18, 27 , 34, 46 , 55, 70 , 81, 99, 112, … (sequência A085787 OEIS ) Todos os números heptagonais generalizados são heptagonais. Entre 1 e 70, os números heptagonais não generalizados também são Números de Pell .[ 1]
A fórmula para a soma dos recíprocos dos números heptagonais é dada por:
[ 2]
:
∑
n
=
1
∞
2
n
(
5
n
−
3
)
=
1
15
π
25
−
10
5
+
2
3
ln
(
5
)
+
1
+
5
3
ln
(
1
2
10
−
2
5
)
+
1
−
5
3
ln
(
1
2
10
+
2
5
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}}={\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)}
Uma analogia com relação à raiz quadrada pode ser feita, calculando a raiz heptagonal de x , dada pela fórmula:
:
n
=
40
x
+
9
+
3
10
.
{\displaystyle n={\frac {{\sqrt {40x+9}}+3}{10}}.}
A fórmula da raiz heptagonal n de x é obtida da seguinte forma:
x
=
5
n
2
−
3
n
2
{\displaystyle x={\frac {5n^{2}-3n}{2}}}
2
x
=
5
n
2
−
3
n
{\displaystyle 2x=5n^{2}-3n}
5
n
2
−
3
n
−
2
x
=
0
{\displaystyle 5n^{2}-3n-2x=0}
n
=
−
(
−
3
)
±
(
−
3
)
2
−
(
4
×
5
×
−
2
x
)
2
×
5
{\displaystyle n={\frac {-(-3)\pm {\sqrt {(-3)^{2}-(4\times 5\times -2x)}}}{2\times 5}}}
n
=
3
±
9
−
(
−
40
x
)
10
{\displaystyle n={\frac {3\pm {\sqrt {9-(-40x)}}}{10}}}
n
=
3
±
9
+
40
x
10
{\displaystyle n={\frac {3\pm {\sqrt {9+40x}}}{10}}}
n
=
±
40
x
+
9
+
3
10
,
{\displaystyle n={\frac {\pm {\sqrt {40x+9}}+3}{10}},}
