Q超幾何級数

数学において、q超幾何級数（qちょうきかきゅうすう、英: q-hypergeometric series, basic hypergeometric series）は、超幾何級数のq類似である。q超幾何級数は

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};q,z\right]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{\binom {n}{2}}\right)^{s+1-r}z^{n}\\{}_{r}\psi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};q,z\right]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{\binom {n}{2}}\right)^{s-r}z^{n}\\\end{aligned}}}$

の形式で表される級数である[1]。中でも

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{r}\phi _{r-1}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{r-1}\end{matrix}};q,z\right]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{r-1},q;q)_{n}}}z^{n}\\{}_{r}\psi _{r}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsb ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsb ,b_{r}\end{matrix}};q,z\right]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{r};q)_{n}}}z^{n}\\\end{aligned}}}$

が多く研究されている。ただし、

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\dotsm (a_{r};q)_{n}}$

であり、ここで

${\displaystyle (a;q)_{n}={\begin{cases}\prod _{0\leq k<n}(1-aq^{k})&(n>0)\\1&(n=0)\\\prod _{n\leq k<0}(1-aq^{k})^{-1}&(n<0)\end{cases}}}$

はqポッホハマー記号である。なお、厳密にいうと、右辺の級数がq超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義されるq超幾何関数を表すものである。

出典

1. Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function

参考文献

• 堀田良之・渡辺敬一・庄司俊明・三町勝久: 群論の進化, 代数学百科, I, 朝倉書店, 2004 年, ISBN 4-254-11099-5
• Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. en:Cambridge university press.
• Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (1999). Special functions. en:Cambridge university press.

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