log n ! と n log n − n は n → ∞ のとき漸近する スターリングの近似 （英 : Stirling's approximation ）またはスターリングの公式 （英 : Stirling's formula ）は、階乗 、あるいはその拡張の一つであるガンマ関数 の漸近近似 である。名称は数学者ジェイムズ・スターリング （英語版 ）
スターリングの近似は精度に応じていくつかの形がある。応用上よく使われる形の公式は、ランダウの記号 を用いて、
log
n
!
=
n
log
n
−
n
+
O
(
log
n
)
{\displaystyle \log n!=n\log n-n+O(\log n)}
である。O (log n )(1/2)log 2π n である。故に、次によい近似の漸近公式 （英語版 ）
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
である[ 1]
∼
{\displaystyle \sim }
n → ∞ のとき） 1 に収束することを意味する。）
n !n
2
π
n
n
+
1
/
2
e
−
n
≤
n
!
≤
e
n
n
+
1
/
2
e
−
n
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,n^{n+1/2}e^{-n}\leq n!\leq en^{n+1/2}e^{-n}}
が成り立ち[ 2] n n !/(n n +1/2e −n )√ 2π e
スターリングの近似は階乗の複素引数への拡張の一つであるガンマ関数 Γ(z ) （正の整数 n に対し Γ(n ) = (n − 1)! が成り立つ；ボーア・モレルップの定理 も参照）に拡張することができ、
Γ
(
z
)
∼
2
π
z
(
z
e
)
z
(
|
arg
z
|
≤
π
−
ε
,
|
z
|
→
∞
)
{\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\qquad (\vert \arg z\vert \leq \pi -\varepsilon ,\;\vert z\vert \to \infty )}
が成り立つ（ただし ε > 0[ 3] |arg z | → π のときは収束が遅くなるため、応用上は相補公式 などを用いて |arg z | ≤ π /2 程度に制限することが多い。
スターリングの公式の厳密な証明にはオイラーの和公式 、あるいは鞍点法 といった複素解析の技法などを用いられることが多いが、初等的に導くことも可能である。まず階乗の対数 を積分で近似する。logが凹関数 であることから k-1<x<k (k=2,3,...) に対して
log
k
−
(
k
−
x
)
{
log
k
−
log
(
k
−
1
)
}
<
log
x
<
log
k
−
1
k
(
k
−
x
)
{\displaystyle \log k-(k-x)\{\log k-\log(k-1)\}\;<\;\log x\;<\;\log k-{\frac {1}{k}}(k-x)}
これを k-1 から k まで積分して
log
k
−
1
2
{
log
k
−
log
(
k
−
1
)
}
<
∫
k
−
1
k
log
x
d
x
<
log
k
−
1
2
k
∫
k
−
1
k
log
x
d
x
+
1
2
k
<
log
k
<
∫
k
−
1
k
log
x
d
x
+
1
2
{
log
k
−
log
(
k
−
1
)
}
{\displaystyle {\begin{aligned}&\log k-{\frac {1}{2}}\{\log k-\log(k-1)\}\;<\;\int _{k-1}^{k}\log x\,dx\;<\;\log k-{\frac {1}{2k}}\\&\int _{k-1}^{k}\log x\,dx+{\frac {1}{2k}}\;<\;\log k\;<\;\int _{k-1}^{k}\log x\,dx+{\frac {1}{2}}\{\log k-\log(k-1)\}\end{aligned}}}
k=m+1,m+2,...,n に対して足し合わせると
log
n
!
m
!
=
∑
k
=
m
+
1
n
log
k
>
∫
m
n
log
x
d
x
+
∑
k
=
m
+
1
n
1
2
k
>
∫
m
n
log
x
d
x
+
1
2
n
−
1
2
m
+
∫
m
n
1
2
x
d
x
=
(
n
+
1
/
2
)
log
n
−
n
+
1
/
(
2
n
)
−
(
m
+
1
/
2
)
log
m
+
m
−
1
/
(
2
m
)
log
n
!
m
!
=
∑
k
=
m
+
1
n
log
k
<
∫
m
n
log
x
d
x
+
1
2
{
log
n
−
log
m
}
=
(
n
+
1
/
2
)
log
n
−
n
−
(
m
+
1
/
2
)
log
m
+
m
{\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {n!}{m!}}&=\sum _{k=m+1}^{n}\log k\\&>\int _{m}^{n}\log x\,dx+\sum _{k=m+1}^{n}{\frac {1}{2k}}\\&>\int _{m}^{n}\log x\,dx+{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{2m}}+\int _{m}^{n}{\frac {1}{2x}}\,dx\\&=(n+1/2)\log n-n+1/(2n)-(m+1/2)\log m+m-1/(2m)\\\log {\frac {n!}{m!}}&=\sum _{k=m+1}^{n}\log k\\&<\int _{m}^{n}\log x\,dx+{\frac {1}{2}}\{\log n-\log m\}\\&=(n+1/2)\log n-n-(m+1/2)\log m+m\end{aligned}}}
n
n
+
1
/
2
e
−
n
+
1
/
(
2
n
)
m
m
+
1
/
2
e
−
m
+
1
/
(
2
m
)
<
n
!
m
!
<
n
n
+
1
/
2
e
−
n
m
m
+
1
/
2
e
−
m
{\displaystyle {\frac {n^{n+1/2}e^{-n+1/(2n)}}{m^{m+1/2}e^{-m+1/(2m)}}}<{\frac {n!}{m!}}<{\frac {n^{n+1/2}e^{-n}}{m^{m+1/2}e^{-m}}}}
ここで
a
n
=
n
!
n
n
+
1
/
2
e
−
n
{\displaystyle \;a_{n}={\frac {n!}{n^{n+1/2}e^{-n}}}\;}
e
1
/
(
2
n
)
e
1
/
(
2
m
)
<
a
n
a
m
<
1
{\displaystyle {\frac {e^{1/(2n)}}{e^{1/(2m)}}}<{\frac {a_{n}}{a_{m}}}<1}
m,n→∞のとき最左辺は1に収束するから、特に n=2m のとき
lim
m
→
∞
a
2
m
a
m
=
1
{\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\frac {a_{2m}}{a_{m}}}=1}
これとウォリスの公式 の系
lim
n
→
∞
4
n
(
n
!
)
2
n
(
2
n
)
!
=
π
{\displaystyle \;\lim _{n\to \infty }{\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}={\sqrt {\pi }}\;}
4
n
(
n
!
)
2
n
(
2
n
)
!
=
4
n
(
a
n
n
n
+
1
/
2
e
−
n
)
2
n
a
2
n
(
2
n
)
2
n
+
1
/
2
e
−
2
n
=
a
n
2
2
a
2
n
{\displaystyle {\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}={\frac {4^{n}(a_{n}n^{n+1/2}e^{-n})^{2}}{{\sqrt {n}}a_{2n}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}}}={\frac {a_{n}^{2}}{{\sqrt {2}}a_{2n}}}}
lim
n
→
∞
a
n
=
lim
n
→
∞
4
n
(
n
!
)
2
n
(
2
n
)
!
2
a
2
n
a
n
=
2
π
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}{\frac {{\sqrt {2}}a_{2n}}{a_{n}}}={\sqrt {2\pi }}}
を得る。
精度を改善するために an を評価する。
log
a
m
a
m
+
1
=
log
m
!
−
(
m
+
1
2
)
log
m
+
m
−
log
(
m
+
1
)
!
+
(
m
+
3
2
)
log
(
m
+
1
)
−
m
−
1
=
(
m
+
1
2
)
log
(
1
+
1
m
)
−
1
=
(
m
+
1
2
)
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
k
1
m
k
−
1
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
+
1
1
m
k
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
2
k
1
m
k
−
1
=
∑
k
=
2
∞
(
k
−
1
)
(
−
1
)
k
2
k
(
k
+
1
)
1
m
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {a_{m}}{a_{m+1}}}&=\log m!-\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\log m+m-\log(m+1)!+\left(m+{\frac {3}{2}}\right)\log(m+1)-m-1\\&=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\log \left(1+{\frac {1}{m}}\right)-1\\&=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{\frac {1}{m^{k}}}-1\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}{\frac {1}{m^{k}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{2k}}{\frac {1}{m^{k}}}-1\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(k-1)(-1)^{k}}{2k(k+1)}}{\frac {1}{m^{k}}}\end{aligned}}}
log
a
n
2
π
=
∑
m
=
n
∞
log
a
m
a
m
+
1
=
∑
k
=
2
∞
(
k
−
1
)
(
−
1
)
k
2
k
(
k
+
1
)
∑
m
=
n
∞
1
m
k
=
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
2
k
(
k
+
1
)
{
1
n
k
−
1
+
O
(
1
n
k
)
}
=
1
12
n
+
O
(
1
n
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {a_{n}}{\sqrt {2\pi }}}&=\sum _{m=n}^{\infty }\log {\frac {a_{m}}{a_{m+1}}}=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(k-1)(-1)^{k}}{2k(k+1)}}\sum _{m=n}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k(k+1)}}\left\{{\frac {1}{n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)\right\}\\&={\frac {1}{12n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\end{aligned}}}
従って
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
exp
(
1
12
n
)
{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({\frac {1}{12n}}\right)}
オイラーの乗積表示によるガンマ関数 の定義の対数をとり
log
Γ
(
z
)
=
log
{
(
z
−
1
)
Γ
(
z
−
1
)
}
=
lim
N
→
∞
(
z
−
1
)
log
N
+
∑
n
=
1
N
{
log
n
−
log
(
n
+
z
−
1
)
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=\log {\big \{}(z-1)\Gamma (z-1){\big \}}\\&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+\sum _{n=1}^{N}{\big \{}\log n-\log(n+z-1){\big \}}\end{aligned}}}
f
(
n
)
=
log
n
−
log
(
n
+
z
−
1
)
{\displaystyle f(n)=\log n-\log(n+z-1)}
オイラーの和公式 を適用すれば
log
Γ
(
z
)
=
lim
N
→
∞
(
z
−
1
)
log
N
+
∫
n
=
1
N
f
(
n
)
d
n
+
1
2
(
f
(
N
)
+
f
(
1
)
)
+
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
!
(
f
(
2
k
−
1
)
(
N
)
−
f
(
2
k
−
1
)
(
1
)
)
+
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
(
2
m
+
1
)
!
f
(
2
m
+
1
)
(
n
)
d
n
=
lim
N
→
∞
(
z
−
1
)
log
N
+
[
n
log
n
−
n
−
(
n
+
z
−
1
)
log
(
n
+
z
−
1
)
+
(
n
+
z
−
1
)
]
n
=
1
N
+
1
2
{
log
N
−
log
(
N
+
z
−
1
)
−
log
z
}
+
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
(
2
k
−
1
)
{
1
N
2
k
−
1
−
1
(
N
+
z
−
1
)
2
k
−
1
−
1
+
1
z
2
k
−
1
}
+
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
2
m
+
1
{
1
n
2
m
+
1
−
1
(
n
+
z
−
1
)
2
m
+
1
}
d
n
=
lim
N
→
∞
(
N
+
z
−
1
2
)
{
log
N
−
log
(
N
+
z
−
1
)
}
+
(
z
−
1
2
)
log
z
+
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
(
2
k
−
1
)
{
1
N
2
k
−
1
−
1
(
N
+
z
−
1
)
2
k
−
1
−
1
+
1
z
2
k
−
1
}
+
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
2
m
+
1
{
1
n
2
m
+
1
−
1
(
n
+
z
−
1
)
2
m
+
1
}
d
n
=
−
z
+
1
+
(
z
−
1
2
)
log
z
−
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
(
2
k
−
1
)
(
1
−
1
z
2
k
−
1
)
+
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
2
m
+
1
{
1
n
2
m
+
1
−
1
(
n
+
z
−
1
)
2
m
+
1
}
d
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+\int _{n=1}^{N}f(n)\,dn+{\frac {1}{2}}{\big (}f(N)+f(1){\big )}\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(N)-f^{(2k-1)}(1)\right)+\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{(2m+1)!}}f^{(2m+1)}(n)\,dn\\&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+{\bigg [}n\log n-n-(n+z-1)\log(n+z-1)+(n+z-1){\bigg ]}_{n=1}^{N}+{\frac {1}{2}}{\big \{}\log N-\log(N+z-1)-\log z{\big \}}\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left\{{\frac {1}{N^{2k-1}}}-{\frac {1}{(N+z-1)^{2k-1}}}-1+{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right\}\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\\&=\lim _{N\to \infty }\left(N+z-{\frac {1}{2}}\right){\big \{}\log N-\log(N+z-1){\big \}}+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left\{{\frac {1}{N^{2k-1}}}-{\frac {1}{(N+z-1)^{2k-1}}}-1+{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right\}\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\\&=-z+1+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left(1-{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right)\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\end{aligned}}}
となる。右辺の定数を集めて
C
=
1
−
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
(
2
k
−
1
)
+
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
d
n
(
2
m
+
1
)
n
2
m
+
1
{\displaystyle C=1-\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}+\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)n^{2m+1}}}}
とすれば
log
Γ
(
z
)
=
C
−
z
+
(
z
−
1
2
)
log
z
+
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
(
2
k
−
1
)
z
2
k
−
1
−
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
d
n
(
2
m
+
1
)
(
n
+
z
−
1
)
2
m
+
1
{\displaystyle \log \Gamma (z)=C-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}}}-\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}}}}
となり、この主要部をガンマ関数の相補公式 に代入して
z
→
i
∞
{\displaystyle z\to i\infty }
Γ
(
z
)
Γ
(
1
−
z
)
=
−
z
Γ
(
z
)
Γ
(
−
z
)
=
π
sin
π
z
{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z)\Gamma (-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}}
π
i
+
log
z
+
log
Γ
(
z
)
+
log
Γ
(
−
z
)
−
log
sin
π
z
−
log
π
=
0
{\displaystyle \pi i+\log z+\log \Gamma (z)+\log \Gamma (-z)-\log \sin \pi z-\log \pi =0}
π
i
+
log
z
+
C
−
z
+
(
z
−
1
2
)
log
z
+
C
+
z
+
(
−
z
−
1
2
)
(
π
i
+
log
z
)
−
log
sin
π
z
−
log
π
=
0
{\displaystyle \pi i+\log z+C-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+C+z+\left(-z-{\frac {1}{2}}\right)\left(\pi i+\log z\right)-\log \sin \pi z-\log \pi =0}
2
C
+
π
i
2
−
π
i
z
−
log
sin
π
z
−
log
π
=
0
{\displaystyle 2C+{\frac {\pi i}{2}}-\pi iz-\log \sin \pi z-\log \pi =0}
となるが
log
sin
π
z
=
log
(
e
π
i
z
−
e
−
π
i
z
)
−
π
i
2
−
log
2
∼
π
i
z
−
π
i
2
−
log
2
{\displaystyle \log \sin \pi z=\log \left(e^{\pi iz}-e^{-\pi iz}\right)-{\frac {\pi i}{2}}-\log 2\sim \pi iz-{\frac {\pi i}{2}}-\log 2}
であるから
C
=
log
2
π
2
{\displaystyle C={\frac {\log 2\pi }{2}}}
を得る。剰余項については
α
=
2
1
+
cos
arg
z
{\displaystyle \alpha ={\frac {2}{1+\cos \arg z}}}
として
|
∫
n
=
1
N
B
2
m
+
1
(
n
−
⌊
n
⌋
)
d
n
(
2
m
+
1
)
(
n
+
z
−
1
)
2
m
+
1
|
≤
|
B
2
m
|
2
m
∫
n
=
1
N
d
n
|
n
+
z
−
1
|
2
m
+
1
≤
|
B
2
m
|
2
m
α
2
m
+
1
∫
n
=
1
N
d
n
(
n
+
|
z
|
−
1
)
2
m
+
1
=
|
B
2
m
|
α
2
m
+
1
|
z
|
2
m
=
O
(
z
−
2
m
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}}}\right|&\leq {\frac {\left|B_{2m}\right|}{2m}}\int _{n=1}^{N}{\frac {dn}{\left|n+z-1\right|^{2m+1}}}\\&\leq {\frac {\left|B_{2m}\right|}{2m\alpha ^{2m+1}}}\int _{n=1}^{N}{\frac {dn}{(n+\left|z\right|-1)^{2m+1}}}={\frac {\left|B_{2m}\right|}{\alpha ^{2m+1}\left|z\right|^{2m}}}=O\left(z^{-2m}\right)\\\end{aligned}}}
である。故に
log
Γ
(
z
)
=
log
2
π
2
−
z
+
(
z
−
1
2
)
log
z
+
∑
k
=
1
m
B
2
k
(
2
k
)
(
2
k
−
1
)
z
2
k
−
1
+
O
(
z
−
2
m
)
{\displaystyle \log \Gamma (z)={\frac {\log 2\pi }{2}}-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}}}+O\left(z^{-2m}\right)}
を得る。最初の数項を書き下せば
log
Γ
(
z
)
∼
log
2
π
−
z
+
(
z
−
1
2
)
log
z
+
1
12
z
−
1
360
z
3
+
1
1260
z
5
−
1
1680
z
7
+
1
1188
z
9
{\displaystyle \log \Gamma (z)\sim \log {\sqrt {2\pi }}-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}-{\frac {1}{1680z^{7}}}+{\frac {1}{1188z^{9}}}}
Γ
(
z
)
∼
2
π
z
(
z
e
)
z
exp
(
1
12
z
−
1
360
z
3
+
1
1260
z
5
−
1
1680
z
7
+
1
1188
z
9
)
{\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\exp \left({\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}-{\frac {1}{1680z^{7}}}+{\frac {1}{1188z^{9}}}\right)}
とやり、指数関数のテイラー展開 により
Γ
(
z
)
∼
2
π
z
(
z
e
)
z
(
1
+
1
12
z
+
1
288
z
2
−
139
51840
z
3
)
{\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51840z^{3}}}\right)}
となる。
スターリングの公式は鞍点法 の好適例とされることが多いが、実際に複素平面全体（負の実数を除く）で漸近近似が成立することを鞍点法によって示すのは困難であるから、ここでは
z
{\displaystyle z}
実数 に限定する。ガンマ関数 は
t
=
z
(
1
+
u
)
{\displaystyle t=z(1+u)}
Γ
(
z
+
1
)
=
∫
0
∞
t
z
e
−
t
d
t
=
∫
−
1
∞
z
z
(
1
+
u
)
z
e
−
z
−
z
u
z
d
u
=
z
z
+
1
e
−
z
∫
−
1
∞
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
=
z
z
+
1
e
−
z
(
∫
−
1
−
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
+
∫
−
ε
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
+
∫
ε
∞
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
)
(
ε
≪
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}dt\\&=\int _{-1}^{\infty }z^{z}(1+u)^{z}e^{-z-zu}zdu\\&=z^{z+1}e^{-z}\int _{-1}^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\\&=z^{z+1}e^{-z}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du+\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }{e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du}+\int _{\varepsilon }^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right)\qquad (\varepsilon \ll 1)\\\end{aligned}}}
となるが、
z
{\displaystyle z}
u
=
0
{\displaystyle u=0}
Γ
(
z
+
1
)
≈
z
z
+
1
e
−
z
∫
−
ε
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
≈
z
z
+
1
e
−
z
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
d
u
≈
z
z
+
1
e
−
z
∫
−
∞
∞
e
−
z
u
2
2
d
u
{\displaystyle \Gamma (z+1)\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du}
という近似が許され、ガウス積分 により
Γ
(
z
+
1
)
∼
z
z
+
1
e
−
z
2
π
z
=
2
π
z
(
z
e
)
z
{\displaystyle \Gamma (z+1)\sim z^{z+1}e^{-z}{\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}
を得る。
ε
=
z
−
1
3
{\displaystyle \varepsilon =z^{-{\tfrac {1}{3}}}}
|
∫
−
1
−
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
|
≤
1
ε
∫
−
1
−
ε
|
−
u
(
1
+
u
)
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
|
d
u
=
1
ε
z
[
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
]
−
1
−
ε
=
1
ε
z
{
e
−
z
(
ε
2
2
+
O
(
ε
3
)
)
}
−
0
≈
z
2
3
e
−
z
1
/
3
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{-1}^{-\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{-1}^{-\varepsilon }\left|{\frac {-u}{(1+u)}}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {1}{\varepsilon z}}\left[e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{-1}^{-\varepsilon }\\&={\frac {1}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}-0\approx z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}}
|
∫
ε
∞
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
|
≤
2
ε
∫
ε
∞
|
2
u
(
1
+
u
)
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
|
d
u
=
2
ε
z
[
−
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
]
ε
∞
=
0
−
2
ε
z
{
e
−
z
(
ε
2
2
+
O
(
ε
3
)
)
}
≈
2
z
2
3
e
−
z
1
/
3
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\varepsilon }^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {2}{\varepsilon }}\int _{\varepsilon }^{\infty }\left|{\frac {2u}{(1+u)\varepsilon }}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {2}{\varepsilon z}}\left[-e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{\varepsilon }^{\infty }\\&=0-{\frac {2}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}\approx 2z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}}
∫
−
ε
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
=
∫
−
ε
ε
e
−
z
(
u
2
2
−
u
3
3
+
O
(
u
4
)
)
d
u
=
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
e
z
(
u
3
3
+
O
(
u
4
)
)
d
u
=
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
(
1
+
z
u
3
3
+
z
O
(
u
4
)
)
d
u
=
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
(
1
+
z
O
(
u
4
)
)
d
u
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left({\tfrac {u^{2}}{2}}-{\tfrac {u^{3}}{3}}+O(u^{4})\right)}du=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}e^{z\left({\tfrac {u^{3}}{3}}+O(u^{4})\right)}du\\&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}\left(1+{\frac {zu^{3}}{3}}+zO(u^{4})\right)du\\&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}\left(1+zO(u^{4})\right)du\\\end{aligned}}}
|
∫
−
ε
ε
e
−
z
{
u
−
log
(
1
+
u
)
}
d
u
−
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
d
u
|
≤
|
z
O
(
ε
4
)
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
d
u
|
=
|
O
(
z
−
1
3
)
∫
−
ε
ε
e
−
z
u
2
2
d
u
|
{\displaystyle \left|\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du-\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|\leq \left|zO(\varepsilon ^{4})\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|=\left|O(z^{-{\tfrac {1}{3}}})\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|}
であり
z
2
3
e
−
z
1
/
3
2
≪
z
−
1
2
(
z
→
∞
)
{\displaystyle z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\ll z^{-{\tfrac {1}{2}}}\qquad (z\to \infty )}
であるから
Γ
(
z
+
1
)
=
2
π
z
(
z
e
)
z
(
1
+
O
(
z
−
1
3
)
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\left(1+O(z^{-{\tfrac {1}{3}}})\right)}
を得る。これは
lim
z
→
∞
Γ
(
z
+
1
)
2
π
z
(
z
e
)
z
=
1
(
|
arg
z
|
<
π
)
{\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {\Gamma (z+1)}{{\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}}=1\qquad (|\arg z|<\pi )}
を示すに十分である。ただし、実際の誤差は
O
(
z
−
1
)
{\displaystyle O(z^{-1})}
より正確に記すと、次のようになる[ 4]
n
!
=
2
π
n
(
n
e
)
n
e
λ
n
{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\lambda _{n}}}
ここで
1
12
n
+
1
<
λ
n
<
1
12
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{12n+1}}<\lambda _{n}<{\frac {1}{12n}}.}
スターリングの公式は以下の級数（スターリング級数 ）の近似（初項で打ち切ったもの）である。
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
(
1
+
1
12
n
+
1
288
n
2
−
139
51840
n
3
−
571
2488320
n
4
+
⋯
)
{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right)}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
漸近展開 の一例である。
以下のような階乗の対数の漸近展開も「スターリング級数」と呼ぶ。
ln
n
!
∼
n
ln
n
−
n
+
1
2
ln
2
π
n
+
1
12
n
−
1
360
n
3
+
1
1260
n
5
−
1
1680
n
7
+
⋯
{\displaystyle \ln n!\sim n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi n+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots }
この場合、誤差は打ち切った級数の初項と同じ符号で同程度の大きさであることが知られている。
すべての正の整数に対して、
n
!
=
Π
(
n
)
=
Γ
(
n
+
1
)
{\displaystyle n!=\Pi (n)=\Gamma (n+1)}
が成り立つ。ここで Γ はガンマ関数 を表す。
しかしながら、パイ関数 （英語版 ）
Π
(
z
)
=
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)}
z > 0 であれば
log
Γ
(
z
)
=
(
z
−
1
2
)
log
z
−
z
+
1
2
log
2
π
+
2
∫
0
∞
arctan
(
t
/
z
)
e
2
π
t
−
1
d
t
{\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt}
が成り立つ[ 5]
log
Γ
(
z
)
∼
(
z
−
1
2
)
log
z
−
z
+
1
2
log
2
π
+
∑
n
=
1
∞
B
2
n
2
n
(
2
n
−
1
)
z
2
n
−
1
.
{\displaystyle \log \Gamma (z)\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}.}
ここで Bn は n 番目のベルヌーイ数 である。（無限和は収束しないので、この公式は漸近展開 にすぎないことに注意する。）公式はεを正数として |arg z | < π − ε であるときに絶対値の十分大きい z に対して成り立つ。公式の右辺に現れる級数はスターリング級数 と呼ばれる。最初の m 項が使われるとき誤差項は
O
(
z
−
2
m
−
1
)
{\displaystyle O(z^{-2m-1})}
Γ
(
z
)
=
2
π
z
(
z
e
)
z
(
1
+
O
(
1
z
)
)
{\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}~{\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right)}
のように書ける。この漸近展開のより進んだ応用は Re z が定数の複素変数 z に対してである。例えば直線 1 / 4 it 上でリーマン・ジーゲルテータ関数 （英語版 ） z において適用されたスターリングの公式を見よ。
スターリングの公式は収束しない級数を伴うので解析的に扱いづらいが、収束しない級数を収束する積分に換えたものとしてビネーの(第二)公式がある。
Γ
(
z
+
1
)
=
2
π
z
(
z
e
)
z
e
μ
(
z
)
,
μ
(
z
)
=
2
∫
0
∞
arctan
(
t
/
z
)
e
2
π
t
−
1
d
t
,
(
ℜ
z
>
0
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}e^{\mu (z)},\quad \mu (z)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt,\quad (\Re {z}>0)}
ビネーの公式は、スターリングの級数を形式的に(収束条件を無視して)操作することによっても導かれるが、厳密には対数ガンマ関数の導関数にアーベル・プラナの和公式 を適用して得られる。
log
Γ
(
z
)
=
lim
N
→
∞
z
log
N
+
∑
n
=
1
N
log
n
−
∑
n
=
0
N
log
(
n
+
z
)
{\displaystyle \log \Gamma (z)=\lim _{N\to \infty }z\log N+\sum _{n=1}^{N}\log n-\sum _{n=0}^{N}\log(n+z)}
d
d
z
log
Γ
(
z
)
=
lim
N
→
∞
log
N
−
∑
n
=
0
N
1
n
+
z
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log \Gamma (z)=\lim _{N\to \infty }\log N-\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{n+z}}}
d
2
d
z
2
log
Γ
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
n
+
z
)
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}}
ℜ
z
>
0
{\displaystyle \Re z>0}
f
=
(
n
+
z
)
−
2
{\displaystyle f=(n+z)^{-2}}
d
2
d
z
2
log
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
1
(
n
+
z
)
2
d
t
+
1
2
z
2
+
i
∫
0
∞
(
z
+
i
t
)
−
2
−
(
z
−
i
t
)
−
2
e
2
π
t
−
1
d
t
=
1
z
+
1
2
z
2
+
i
∫
0
∞
(
z
+
i
t
)
−
2
−
(
z
−
i
t
)
−
2
e
2
π
t
−
1
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}dt+{\frac {1}{2z^{2}}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {(z+it)^{-2}-(z-it)^{-2}}{e^{2\pi t}-1}}dt\\&={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {(z+it)^{-2}-(z-it)^{-2}}{e^{2\pi t}-1}}dt\\\end{aligned}}}
積分して
d
d
z
log
Γ
(
z
)
=
C
1
+
log
z
−
1
2
z
+
i
∫
0
∞
−
(
z
+
i
t
)
−
1
+
(
z
−
i
t
)
−
1
e
2
π
t
−
1
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log \Gamma (z)=C_{1}+\log z-{\frac {1}{2z}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {-(z+it)^{-1}+(z-it)^{-1}}{e^{2\pi t}-1}}dt}
log
Γ
(
z
)
=
C
2
+
C
1
z
+
z
log
z
−
log
z
2
+
i
∫
0
∞
−
log
(
z
+
i
t
)
+
log
(
z
−
i
t
)
e
2
π
t
−
1
d
t
=
C
2
+
C
1
z
+
(
z
−
1
2
)
log
z
+
2
∫
0
∞
arctan
(
t
/
z
)
e
2
π
t
−
1
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=C_{2}+C_{1}z+z\log z-{\frac {\log z}{2}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {-\log(z+it)+\log(z-it)}{e^{2\pi t}-1}}dt\\&=C_{2}+C_{1}z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\\\end{aligned}}}
ℜ
z
>
0
{\displaystyle \Re z>0}
|
tan
(
t
/
z
)
|
<
M
{\displaystyle |\tan(t/z)|<M}
|
∫
0
∞
arctan
(
t
/
z
)
e
2
π
t
−
1
d
t
|
≤
|
∫
0
|
z
|
1
/
2
arctan
(
t
/
z
)
e
2
π
t
−
1
d
t
|
+
|
∫
|
z
|
1
/
2
∞
arctan
(
t
/
z
)
e
2
π
t
−
1
d
t
|
≤
∫
0
|
z
|
1
/
2
∑
k
=
1
∞
|
t
/
z
|
k
d
t
2
π
t
+
M
∫
|
z
|
1
/
2
∞
e
2
π
d
t
(
e
2
π
−
1
)
e
t
e
2
π
(
|
z
|
>
1
)
≤
∫
0
|
z
|
1
/
2
d
t
2
π
(
|
z
|
−
t
)
+
M
e
2
π
e
2
π
−
1
∫
t
=
|
z
|
1
/
2
∞
e
−
2
π
t
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|&\leq \left|\int _{0}^{|z|^{1/2}}{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|+\left|\int _{|z|^{1/2}}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|\\&\leq \int _{0}^{|z|^{1/2}}{\frac {\sum _{k=1}^{\infty }|t/z|^{k}dt}{2\pi t}}+M\int _{|z|^{1/2}}^{\infty }{\frac {e^{2\pi }dt}{(e^{2\pi }-1)e^{t}e^{2\pi }}}\qquad (|z|>1)\\&\leq \int _{0}^{|z|^{1/2}}{\frac {dt}{2\pi (|z|-t)}}+{\frac {Me^{2\pi }}{e^{2\pi }-1}}\int _{t=|z|^{1/2}}^{\infty }e^{-2\pi t}dt\end{aligned}}}
lim
z
→
∞
|
∫
0
∞
arctan
(
t
/
z
)
e
2
π
t
−
1
d
t
|
≤
lim
z
→
∞
1
2
π
[
log
(
|
z
|
−
t
)
]
0
|
z
|
1
/
2
+
lim
z
→
∞
M
e
2
π
2
π
(
e
2
π
−
1
)
[
−
e
−
2
π
t
]
|
z
|
1
/
2
∞
=
0
{\displaystyle \lim _{z\to \infty }\left|\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|\leq \lim _{z\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}{\Big [}\log \left(|z|-t\right){\Big ]}_{0}^{|z|^{1/2}}+\lim _{z\to \infty }{\frac {Me^{2\pi }}{2\pi \left(e^{2\pi }-1\right)}}{\Big [}-e^{-2\pi t}{\Big ]}_{|z|^{1/2}}^{\infty }=0}
である。
スターリングの公式と比較して積分定数を求め
log
Γ
(
z
)
=
1
2
log
2
π
−
z
+
(
z
−
1
2
)
log
z
+
2
∫
0
∞
arctan
(
t
/
z
)
e
2
π
t
−
1
d
t
{\displaystyle \log \Gamma (z)={\frac {1}{2}}\log 2\pi -z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt}
真数に直して
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
=
2
π
z
(
z
e
)
z
e
μ
(
z
)
,
μ
(
z
)
=
2
∫
0
∞
arctan
(
t
/
z
)
e
2
π
t
−
1
d
t
,
(
ℜ
z
>
0
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}e^{\mu (z)},\quad \mu (z)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt,\quad (\Re z>0)}
を得る。なお、ビネーの公式を元にして部分積分を繰り返すとスターリングの級数が得られる。
トーマス・ベイズ の John Canton への書簡が1763年 に王立協会 により公表されている。それによると、スターリングの公式は収束級数 ではないとされていた[ 8]
スターリングの公式の収束級数形式を得るには以下を評価する。
∫
0
∞
2
arctan
(
t
/
z
)
exp
2
π
t
−
1
d
t
=
ln
Γ
(
z
)
−
(
z
−
1
2
)
ln
z
+
z
−
1
2
ln
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1}}\,dt=\ln \Gamma (z)-\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z+z-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi }
一つの方法として、階乗冪 の逆数の収束級数を使う方法がある。
z
n
¯
=
z
(
z
+
1
)
⋯
(
z
+
n
−
1
)
{\displaystyle z^{\overline {n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1)}
∫
0
∞
2
arctan
(
t
/
z
)
exp
2
π
t
−
1
d
t
=
∑
n
=
1
∞
c
n
(
z
+
1
)
n
¯
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1}}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(z+1)^{\overline {n}}}}}
ここで
c
n
=
1
n
∫
0
1
x
n
¯
(
x
−
1
2
)
d
x
{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}x^{\overline {n}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)\,dx}
である。以上から次のようなスターリング級数が得られる。
ln
Γ
(
z
)
=
(
z
−
1
2
)
ln
z
−
z
+
1
2
ln
2
π
+
1
12
(
z
+
1
)
+
1
12
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
+
59
360
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
(
z
+
3
)
+
29
60
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
(
z
+
3
)
(
z
+
4
)
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Gamma (z)&=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi \\&\quad +{\frac {1}{12(z+1)}}+{\frac {1}{12(z+1)(z+2)}}+{\frac {59}{360(z+1)(z+2)(z+3)}}+{\frac {29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)}}+\cdots \end{aligned}}}
これは、
ℜ
z
>
0
{\displaystyle \Re z>0}
ガンマ関数の（関数電卓などの）計算機向けの近似として次の式がある。
Γ
(
z
)
∼
2
π
z
(
z
e
z
sinh
1
z
+
1
810
z
6
)
z
{\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}}
これは、次と同等である。
2
ln
Γ
(
z
)
∼
ln
2
π
−
ln
z
+
z
{
2
ln
z
+
ln
(
z
sinh
1
z
+
1
810
z
6
)
−
2
}
{\displaystyle 2\ln \Gamma (z)\sim \ln 2\pi -\ln z+z\left\{2\ln z+\ln \left(z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}\right)-2\right\}}
これらはスターリングの公式を組み替えて、その結果生じる冪級数と双曲線正弦 関数のテイラー展開 の間の合致を観察することで得られる。この近似は z の実数部が 8 以上のとき、小数点以下 8 桁を超える精度を持つ。2002年、Robert H. Windschitl がリソースの制限された計算機（電卓など）でのそれなりの正確性を持った近似としてこれを示した[ 9]
Gergő Nemes は 2007年にほぼ同程度の結果を与える近似式を提案した。こちらはより単純である。
Γ
(
z
)
∼
2
π
z
{
1
e
(
z
+
1
12
z
−
1
10
z
)
}
z
{\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left\{{\frac {1}{e}}\left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)\right\}^{z}}
これは、次と同等である。
ln
Γ
(
z
)
∼
1
2
(
ln
2
π
−
ln
z
)
+
z
{
ln
(
z
+
1
12
z
−
1
10
z
)
−
1
}
{\displaystyle \ln \Gamma (z)\sim {\frac {1}{2}}\left(\ln 2\pi -\ln z\right)+z\left\{\ln \left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)-1\right\}}
この公式は最初に次の形でアブラーム・ド・モアブル により1730年に発見された[ 10]
n
!
∼
[
c
o
n
s
t
a
n
t
]
⋅
n
n
+
1
2
e
−
n
{\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+{\tfrac {1}{2}}}e^{-n}}
スターリングの貢献は定数が
2
π
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}
[ 10]
スターリングの近似の「一次」バージョン
n
!
=
n
n
{\displaystyle n!=n^{n}}
マックス・プランク が1901年の黒体 放射の論文で使用した。これは多量の光子 や振動子についての黒体放射エネルギーの方程式にリンクしている。この近似は量子論 でよく使われ、例えばピーター・デバイ とルイ・ド・ブロイ も使っている。アルベルト・アインシュタイン とサティエンドラ・ボース は違う方式を採用した。非常に大きな n について確率分布をグラフに描画してみると、両者はほぼ平行になる。
^ 伏見康治 「確率論及統計論 」第I章 数学的補助手段 3節 漸近展開 p.24 ISBN 9784874720127 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204 ^ “有意に無意味な話: スターリングの公式（漸近近似）の導出 ”. 2020年8月9日 閲覧。 ^ Andrews et al. 1999 , Corollary 1.4.3 ^ Robbins, H. (1955), “A remark on Stirling's formula”, Amer. Math. Monthly : 26–29, doi :10.2307/2308012 , MR 69328 , Zbl 0068.05404 Abramowitz & Stegun (1964 , p. 257, 6.1.38)も参照。^ Andrews et al. 1999 , Theorem 1.6.3 ^ A letter from the late reverend Mr. Thomas Bayes, F. R. S. to John Canton, M. A. and F. R. S. ^ Toth, V. T. Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function . http://www.rskey.org/gamma.htm , modified 2006
^ a b Andrews et al. 1999 , p. 18
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables 55 . MR 0167642 . Zbl 0171.38503 . http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special functions 71 . Cambridge University Press . ISBN 0-521-62321-9 . MR 1688958 . Zbl 0920.33001 . https://books.google.co.jp/books?id=kGshpCa3eYwC&pg=PA18 . "1.4 Stirling's Asymptotic Formula" Paris, R. B., and Kaminsky, D., Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press , 2001
Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1996). A course of modern analysis ISBN 0-521-58807-3 . MR 1424469 . Zbl 0951.30002 . https://books.google.co.jp/books?id=ULVdGZmi9VcC
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+\int _{n=1}^{N}f(n)\,dn+{\frac {1}{2}}{\big (}f(N)+f(1){\big )}\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(N)-f^{(2k-1)}(1)\right)+\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{(2m+1)!}}f^{(2m+1)}(n)\,dn\\&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+{\bigg [}n\log n-n-(n+z-1)\log(n+z-1)+(n+z-1){\bigg ]}_{n=1}^{N}+{\frac {1}{2}}{\big \{}\log N-\log(N+z-1)-\log z{\big \}}\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left\{{\frac {1}{N^{2k-1}}}-{\frac {1}{(N+z-1)^{2k-1}}}-1+{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right\}\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\\&=\lim _{N\to \infty }\left(N+z-{\frac {1}{2}}\right){\big \{}\log N-\log(N+z-1){\big \}}+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left\{{\frac {1}{N^{2k-1}}}-{\frac {1}{(N+z-1)^{2k-1}}}-1+{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right\}\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\\&=-z+1+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left(1-{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right)\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76edf0a30dda6f167042e0a18a0d8fead1561329)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{-1}^{-\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{-1}^{-\varepsilon }\left|{\frac {-u}{(1+u)}}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {1}{\varepsilon z}}\left[e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{-1}^{-\varepsilon }\\&={\frac {1}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}-0\approx z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef24f2b168e94eaf2bc0d4c30c4ade1902c2400)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\varepsilon }^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {2}{\varepsilon }}\int _{\varepsilon }^{\infty }\left|{\frac {2u}{(1+u)\varepsilon }}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {2}{\varepsilon z}}\left[-e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{\varepsilon }^{\infty }\\&=0-{\frac {2}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}\approx 2z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55f46bd562d71fa3235ab5ac3d1f1f1a96769b2)
![{\displaystyle \lim _{z\to \infty }\left|\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|\leq \lim _{z\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}{\Big [}\log \left(|z|-t\right){\Big ]}_{0}^{|z|^{1/2}}+\lim _{z\to \infty }{\frac {Me^{2\pi }}{2\pi \left(e^{2\pi }-1\right)}}{\Big [}-e^{-2\pi t}{\Big ]}_{|z|^{1/2}}^{\infty }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b281bfe82f2c25181fe50b4e46f60f4e5b9070)
![{\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+{\tfrac {1}{2}}}e^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2124cd1101ba2918d61ddd3eea3d73b7e3954cb8)
