PERGURUAN TINGGI
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KEYWORD - KATA KUNCI
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対数関数の原始関数の一覧
プロジェクト 数学
ポータル 数学
本項は、
対数関数
の
原始関数
の一覧である。さらに完全な原始関数の一覧は、
原始関数の一覧
を参照のこと。
本項では、
x
> 0 を前提としている。また積分定数は簡便のために省略している。
対数関数のみ
∫ ∫ -->
ln
-->
a
x
d
x
=
x
ln
-->
a
x
− − -->
x
{\displaystyle \int \ln ax\;dx=x\ln ax-x}
∫ ∫ -->
ln
-->
(
a
x
+
b
)
d
x
=
(
a
x
+
b
)
ln
-->
(
a
x
+
b
)
− − -->
(
a
x
+
b
)
a
{\displaystyle \int \ln(ax+b)\;dx={\frac {(ax+b)\ln(ax+b)-(ax+b)}{a}}}
∫ ∫ -->
(
ln
-->
x
)
2
d
x
=
x
(
ln
-->
x
)
2
− − -->
2
x
ln
-->
x
+
2
x
{\displaystyle \int (\ln x)^{2}\;dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x}
∫ ∫ -->
(
ln
-->
x
)
n
d
x
=
x
∑ ∑ -->
k
=
0
n
(
− − -->
1
)
n
− − -->
k
n
!
k
!
(
ln
-->
x
)
k
{\displaystyle \int (\ln x)^{n}\;dx=x\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\frac {n!}{k!}}(\ln x)^{k}}
∫ ∫ -->
d
x
ln
-->
x
=
ln
-->
|
ln
-->
x
|
+
ln
-->
x
+
∑ ∑ -->
k
=
2
∞ ∞ -->
(
ln
-->
x
)
k
k
⋅ ⋅ -->
k
!
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}}
∫ ∫ -->
d
x
(
ln
-->
x
)
n
=
− − -->
x
(
n
− − -->
1
)
(
ln
-->
x
)
n
− − -->
1
+
1
n
− − -->
1
∫ ∫ -->
d
x
(
ln
-->
x
)
n
− − -->
1
(for
n
≠ ≠ -->
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ ∫ -->
(
ln
-->
x
)
x
d
x
=
(
ln
-->
x
)
x
− − -->
1
+
(
ln
-->
(
ln
-->
x
)
)
(
ln
-->
x
)
x
{\displaystyle \int (\ln x)^{x}\;dx=(\ln x)^{x-1}+\left(\ln(\ln x)\right)(\ln x)^{x}}
変数の冪を含む積分
∫ ∫ -->
x
m
ln
-->
x
d
x
=
x
m
+
1
(
ln
-->
x
m
+
1
− − -->
1
(
m
+
1
)
2
)
(for
m
≠ ≠ -->
− − -->
1
)
{\displaystyle \int x^{m}\ln x\;dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)\qquad {\mbox{(for }}m\neq -1{\mbox{)}}}
∫ ∫ -->
x
m
(
ln
-->
x
)
n
d
x
=
x
m
+
1
(
ln
-->
x
)
n
m
+
1
− − -->
n
m
+
1
∫ ∫ -->
x
m
(
ln
-->
x
)
n
− − -->
1
d
x
(for
m
≠ ≠ -->
− − -->
1
)
{\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq -1{\mbox{)}}}
∫ ∫ -->
(
ln
-->
x
)
n
d
x
x
=
(
ln
-->
x
)
n
+
1
n
+
1
(for
n
≠ ≠ -->
− − -->
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\left(\ln x\right)^{n}\;dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}}
∫ ∫ -->
ln
-->
x
n
d
x
x
=
(
ln
-->
x
n
)
2
2
n
(for
n
≠ ≠ -->
0
)
{\displaystyle \int {\frac {\ln {x^{n}}\;dx}{x}}={\frac {\left(\ln {x^{n}}\right)^{2}}{2n}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 0{\mbox{)}}}
∫ ∫ -->
ln
-->
x
d
x
x
m
=
− − -->
ln
-->
x
(
m
− − -->
1
)
x
m
− − -->
1
− − -->
1
(
m
− − -->
1
)
2
x
m
− − -->
1
(for
m
≠ ≠ -->
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}}
∫ ∫ -->
(
ln
-->
x
)
n
d
x
x
m
=
− − -->
(
ln
-->
x
)
n
(
m
− − -->
1
)
x
m
− − -->
1
+
n
m
− − -->
1
∫ ∫ -->
(
ln
-->
x
)
n
− − -->
1
d
x
x
m
(for
m
≠ ≠ -->
1
)
{\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}}
∫ ∫ -->
x
m
d
x
(
ln
-->
x
)
n
=
− − -->
x
m
+
1
(
n
− − -->
1
)
(
ln
-->
x
)
n
− − -->
1
+
m
+
1
n
− − -->
1
∫ ∫ -->
x
m
d
x
(
ln
-->
x
)
n
− − -->
1
(for
n
≠ ≠ -->
1
)
{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\;dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ ∫ -->
d
x
x
ln
-->
x
=
ln
-->
|
ln
-->
x
|
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|}
∫ ∫ -->
d
x
x
n
ln
-->
x
=
ln
-->
|
ln
-->
x
|
+
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
k
(
n
− − -->
1
)
k
(
ln
-->
x
)
k
k
⋅ ⋅ -->
k
!
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(n-1)^{k}(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}}
∫ ∫ -->
d
x
x
(
ln
-->
x
)
n
=
− − -->
1
(
n
− − -->
1
)
(
ln
-->
x
)
n
− − -->
1
(for
n
≠ ≠ -->
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ ∫ -->
ln
-->
(
x
2
+
a
2
)
d
x
=
x
ln
-->
(
x
2
+
a
2
)
− − -->
2
x
+
2
a
tan
− − -->
1
-->
x
a
{\displaystyle \int \ln \left(x^{2}+a^{2}\right)\;dx=x\ln \left(x^{2}+a^{2}\right)-2x+2a\tan ^{-1}{\frac {x}{a}}}
∫ ∫ -->
x
x
2
+
a
2
ln
-->
(
x
2
+
a
2
)
d
x
=
1
4
ln
2
-->
(
x
2
+
a
2
)
{\displaystyle \int {\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}\ln \left(x^{2}+a^{2}\right)\;dx={\frac {1}{4}}\ln ^{2}\left(x^{2}+a^{2}\right)}
三角関数を含む積分
∫ ∫ -->
sin
-->
(
ln
-->
x
)
d
x
=
x
2
(
sin
-->
(
ln
-->
x
)
− − -->
cos
-->
(
ln
-->
x
)
)
{\displaystyle \int \sin(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}\left(\sin(\ln x)-\cos(\ln x)\right)}
∫ ∫ -->
cos
-->
(
ln
-->
x
)
d
x
=
x
2
(
sin
-->
(
ln
-->
x
)
+
cos
-->
(
ln
-->
x
)
)
{\displaystyle \int \cos(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}\left(\sin(\ln x)+\cos(\ln x)\right)}
指数関数を含む積分
∫ ∫ -->
e
x
(
x
ln
-->
x
− − -->
x
− − -->
1
x
)
d
x
=
e
x
(
x
ln
-->
x
− − -->
x
− − -->
ln
-->
x
)
{\displaystyle \int e^{x}\left(x\ln x-x-{\frac {1}{x}}\right)\;dx=e^{x}(x\ln x-x-\ln x)}
∫ ∫ -->
1
e
x
(
1
x
− − -->
ln
-->
x
)
d
x
=
ln
-->
x
e
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{e^{x}}}\left({\frac {1}{x}}-\ln x\right)\;dx={\frac {\ln x}{e^{x}}}}
∫ ∫ -->
e
x
(
1
ln
-->
x
− − -->
1
x
ln
2
-->
x
)
d
x
=
e
x
ln
-->
x
{\displaystyle \int e^{x}\left({\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{x\ln ^{2}x}}\right)\;dx={\frac {e^{x}}{\ln x}}}
高階積分
∫ ∫ -->
⋯ ⋯ -->
∫ ∫ -->
⏟ ⏟ -->
n
ln
-->
x
d
x
⋯ ⋯ -->
d
x
⏟ ⏟ -->
n
=
x
n
n
!
(
ln
x
− − -->
∑ ∑ -->
k
=
1
n
1
k
)
+
∑ ∑ -->
k
=
0
n
− − -->
1
C
k
x
k
k
!
{\displaystyle \underbrace {{\biggl .}{\biggr .}\int \cdots \int } _{n}\,\ln x\,\underbrace {{\biggl .}{\biggr .}{\,\mathrm {d} }x\cdots {\,\mathrm {d} }x} _{n}={\frac {x^{n}}{n!}}\left(\ln \,x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)+\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}}
出典
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun,
Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
. Dover (1965)
ISBN
978-0486612720
いくつかの積分がこの古典的書籍の
page 69
に掲載されている。
関連項目
微分積分学
微分積分学の基本定理
解析学
対数微分
微分の記法
積の微分法則
商の微分法則
表
話
編
歴
原始関数の一覧
有理関数
無理関数
三角関数
逆三角関数
双曲線関数
逆双曲線関数
指数関数
対数関数
ガウス関数