Список моделей многогранников Веннинджера

В данной статье содержится список таких однородных многогранников и звёздчатых многогранников, которые упоминаются в книге «Модели многогранников» Магнуса Веннинджера.

Книга «Модели многогранников» Веннинджера — руководство по построению физических (например, бумажных) моделей многогранников. Книга содержит короткое описание связанной с многогранниками теории, чертежи элементов граней многогранников, рекомендации по построению моделей многогранников. Книга описывает модели непризматических однородных многогранников всех (75-и) видов однородных многогранников и модели 44-х звёздчатых форм выпуклых правильных и полуправильных многогранников (всего — 75+44 = 119).

Список создан как дань уважения работе Веннинджера и для предоставления возможности создания ссылок на 119 пронумерованных в книге моделей.

Пусть N — номер описаной в книге модели. Тогда, чтобы поставить ссылку на описанную в книге модель, укажите либо текст вида «модель Веннинджера номер N», либо текст вида WN, где W — первая буква фамилии Веннинджера (англ. Wenninger).

Многогранники перечислены в пяти таблицах:

  1. правильные многогранники (от W1 до W5);
  2. полуправильные многогранники (от W6 до W18);
  3. правильные звёздчатые многогранники (W20, W21, W22, W41);
  4. звёздчатые формы многогранников и соединения многогранников (от W19 до W66);
  5. однородные звёздчатые многогранники (от W67 до W119).

Четыре правильных звёздчатых многогранника приведены дважды, поскольку принадлежат и однородным многогранникам, и звёздчатым формам.

Правильные многогранники (плато́новы тела) (модели от W1 до W5)

Номер Название Рисунок Имя двойственного Рисунок двойственного Символ
Витхоффа[англ.] 		Вершинная фигура
и символ Шлефли 		Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
1 Тетраэдр Тетраэдр 3|2 3
{3,3} 		Td U01 K06 4 6 4 4{3}
2 Октаэдр Гексаэдр 4|2 3
{3,4} 		Oh U05 K10 6 12 8 8{3}
3 Гексаэдр (Куб) Октаэдр 3|2 4
{4,3} 		Oh U06 K11 8 12 6 6{4}
4 Икосаэдр Додекаэдр 5|2 3
{3,5} 		Ih U22 K27 12 30 20 20{3}
5 Додекаэдр Икосаэдр 3|2 5
{5,3} 		Ih U23 K28 20 30 12 12{5}

Архимедовы тела (полуправильные) (модели от W6 до W18)

Номер Название Рисунок Имя двойственного Рисунок двойственного Символ
Витхоффа[англ.] 		Вершинная фигура
и символ Шлефли 		Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
6 Усечённый тетраэдр триакистетраэдр Triakis tetrahedron 2 3|3
3.6.6 		Td U02 K07 12 18 8 4{3} + 4{6}
7 Усечённый октаэдр тетракисгексаэдр Tetrakis hexahedron 2 4|3
4.6.6 		Oh U08 K13 24 36 14 6{4} + 8{6}
8 Усечённый гексаэдр триакисоктаэдр Triakis octahedron 2 3|4
3.8.8 		Oh U09 K14 24 36 14 8{3} + 6{8}
9 Усечённый икосаэдр пентакисдодекаэдр Pentakis dodecahedron 2 5|3
5.6.6 		Ih U25 K30 60 90 32 12{5} + 20{6}
10 Усечённый додекаэдр триакисикосаэдр Triakis icosahedron 2 3|5
3.10.10 		Ih U26 K31 60 90 32 20{3} + 12{10}
11 Кубооктаэдр ромбододекаэдр Rhombic dodecahedron 2|3 4
3.4.3.4 		Oh U07 K12 12 24 14 8{3} + 6{4}
12 Икосододекаэдр ромботриаконтаэдр Rhombic triacontahedron 2|3 5
3.5.3.5 		Ih U24 K29 30 60 32 20{3} + 12{5}
13 Ромбокубооктаэдр дельтоидальный икоситетраэдр Deltoidal icositetrahedron 3 4|2
3.4.4.4 		Oh U10 K15 24 48 26 8{3}+(6+12){4}
14 Ромбоикосидодекаэдр дельтоидальный гексеконтаэдр Deltoidal hexecontahedron 3 5|2
3.4.5.4 		Ih U27 K32 60 120 62 20{3} + 30{4} + 12{5}
15 Усечённый кубооктаэдр
(Большой ромбокубооктаэдр) 		Гекзакисоктаэдр Disdyakis dodecahedron 2 3 4|
4.6.8 		Oh U11 K16 48 72 26 12{4} + 8{6} + 6{8}
16 Ромбоусечённый икосододекаэдр
(Большой ромбоикосододекаэдр) 		Гекзакисикосаэдр Disdyakis triacontahedron 2 3 5|
4.6.10 		Ih U28 K33 120 180 62 30{4} + 20{6} + 12{10}
17 Плосконосый куб пентагональный икоситетраэдр Pentagonal icositetrahedron |2 3 4
3.3.3.3.4 		O U12 K17 24 60 38 (8 + 24){3} + 6{4}
18 Плосконосый додекаэдр пентагональный гексеконтаэдр Pentagonal hexecontahedron |2 3 5
3.3.3.3.5 		I U29 K34 60 150 92 (20 + 60){3} + 12{5}

Тела Кеплера — Пуансо (правильные звёздчатые многогранники) (модели W20, W21, W22 и W41)

Номер Название Рисунок Имя двойственного Рисунок двойственного Символ
Витхоффа[англ.] 		Вершинная фигура
и символ Шлефли 		Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
20 Малый звёздчатый додекаэдр Большой додекаэдр 5|25/2
{5/2,5} 		Ih U34 K39 12 30 12 12{5/2}
21 Большой додекаэдр Малый звёздчатый додекаэдр 5/2|2 5
{5,5/2} 		Ih U35 K40 12 30 12 12{5}
22 Большой звёздчатый додекаэдр Большой икосаэдр 3|25/2
{5/2,3} 		Ih U52 K57 20 30 12 12{5/2}
41 Большой икосаэдр
(16-я звёздчатая форма икосаэдра) 		Большой звёздчатый додекаэдр 5/2|2 3
{3,5/2} 		Ih U53 K58 12 30 20 20{3}

Звёздчатые многогранники (модели от W19 до W66)

Звёздчатый октаэдр

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани
2 Октаэдр
(правильный) 		Oh
19 Звёздчатый октаэдр
(Соединение двух тетраэдров) 		Oh

Звёздчатые формы додекаэдра

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани
5 Додекаэдр (правильный) Ih
20 Малый звёздчатый додекаэдр(правильный)
(1-я звёздчатая форма додекаэдра) 		Ih
21 Большой додекаэдр (правильный)
(2-я звёздчатая форма додекаэдра) 		Ih
22 Большой звёздчатый додекаэдр(правильный)
(3-я звёздчатая форма додекаэдра) 		Ih

Звёздчатые формы икосаэдра

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани
4 Икосаэдр (правильный) Ih
23 Соединение пяти октаэдров
(1-я составная форма звёздчатого икосаэдра) 		Ih
24 Соединение пяти тетраэдров
(2-я составная форма звёздчатого икосаэдра) 		I
25 Соединение десяти тетраэдров
(3-я составная форма звёздчатого икосаэдра) 		Ih
26 Малый триамбический икосаэдр
(1-я звёздчатая форма икосаэдра)
(Триакисикосаэдр) 		Ih
27 2-я звёздчатая форма икосаэдра Ih
28 Выемчатый додекаэдр[англ.]
(3-я звёздчатая форма икосаэдра) 		Ih
29 4-я звёздчатая форма икосаэдра Ih
30 5-я звёздчатая форма икосаэдра Ih
31 6-я звёздчатая форма икосаэдра Ih
32 7-я звёздчатая форма икосаэдра Ih
33 8-я звёздчатая форма икосаэдра Ih
34
Большой триамбикикосаэдр


(9-я звёздчатая форма икосаэдра)

Ih
35 10-я звёздчатая форма икосаэдра I
36 11-я звёздчатая форма икосаэдра I
37 12-я звёздчатая форма икосаэдра Ih
38 13-я звёздчатая форма икосаэдра I
39 14-я звёздчатая форма икосаэдра I
40 15-я звёздчатая форма икосаэдра I
41 Большой икосаэдр (правильный)
(16-я звёздчатая форма икосаэдра) 		Ih
42 Ехиднаэдр
(Завершающая, 17-я звёздчатая форма икосаэдра) 		Ih

Звёздчатые формы кубооктаэдра

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани (октаэдральные плоскости) Грани (кубические плоскости)
11 Кубооктаэдр (правильный) Oh
43 Соединение куба и октаэдра[англ.]
(1-я звёздчатая форма кубооктаэдра) 		Oh
44 2-я звёздчатая форма кубооктаэдра Oh
45 3-я звёздчатая форма кубооктаэдра Oh
46 4-я звёздчатая форма кубооктаэдра Oh

Звёздчатые формы икосододекаэдра

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани (икосоэдральные плоскости) Грани (додекаэдральные плоскости)
12 Икосододекаэдр
(правильный) 		Ih
47 1-я звёздчатая форма икосододекаэдра
Соединение додекаэдра и икосаэдра[англ.] 		Ih
48 2-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
49 3-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
50 4-я звёздчатая форма икосододекаэдра
(Соединение малого звёздчатого додекаэдра
и триакисикосаэдра) 		Ih
51 5-я звёздчатая форма икосододекаэдра
( Соединение малого звёздчатого додекаэдра
и пяти октаэдров) 		Ih
52 6-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
53 7-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
54 8-я звёздчатая форма икосододекаэдра
(Соединение пяти тетраэдров
и большого додекаэдра) 		I
55 9-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
56 10-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
57 11-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
58 12-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
59 13-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
60 14-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
61 Соединение большого звёздчатого додекаэдра и большого икосаэдра[англ.] Ih
62 15-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
63 16-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
64 17-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
65 18-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
66 19-я звёздчатая форма икосододекаэдра Ih

Однородные невыпуклые тела (модели от W67 до W119)

Номер Название Рисунок Название
двойственного 		Рисунок двойственного Символ
Витхоффа[англ.] 		Вершинная фигура Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
67 Тетрагемигексаэдр Тетрагемигексакрон[англ.] 3/23|2
4.3/2.4.3		 Td U04 K09 6 12 7 4{3}+3{4}
68 Октагемиоктаэдр[англ.] Октагемиоктакрон[англ.] 3/23|3
6.3/2.6.3		 Oh U03 K08 12 24 12 8{3}+4{6}
69 Малый кубокубооктаэдр[англ.] Малый гексакронный икосотетраэдр[англ.] 3/24|4
8.3/2.8.4		 Oh U13 K18 24 48 20 8{3}+6{4}+6{8}
70 Малый битригональный икосододекаэдр[англ.] Малый триамбический икосаэдр 3|5/23
(5/2.3)3		 Ih U30 K35 20 60 32 20{3}+12{5/2}
71 Малый икосоикосододекаэдр[англ.] Малый икосакронный гексаконтаэдр[англ.] 5/23|3
6.5/2.6.3		 Ih U31 K36 60 120 52 20{3}+12{5/2}+20{6}
72 Малый додекоикосододекаэдр[англ.] Малый додекакронный гексаконтаэдр[англ.] 3/25|5
10.3/2.10.5		 Ih U33 K38 60 120 44 20{3}+12{5}+12{10}
73 Додекододекаэдр Средний ромбический триаконтаэдр[англ.] 2|5/25
(5/2.5)2		 Ih U36 K41 30 60 24 12{5}+12{5/2}
74 Малый ромбододекаэдр[англ.] Малый
ромбододекакрон[англ.]		 25/25|
10.4.10/9.4/3		 Ih U39 K44 60 120 42 30{4}+12{10}
75 Усечённый большой додекаэдр[англ.] Малый звёздчатый пентакисдодекаэдр[англ.] 25/2|5
10.10.5/2		 Ih U37 K42 60 90 24 12{5/2}+12{10}
76 Ромбододекододекаэдр[англ.] Средний дельтоидный гексаконтаэдр[англ.] 5/25|2
4.5/2.4.5		 Ih U38 K43 60 120 54 30{4}+12{5}+12{5/2}
77 Большой кубокубооктаэдр[англ.] Большой гексакронный икосотетраэдр[англ.] 3 4|4/3
8/3.3.8/3.4		 Oh U14 K19 24 48 20 8{3}+6{4}+6{8/3}
78 Кубогемиоктаэдр[англ.] Гексагемиоктакрон[англ.] 4/34|3
6.4/3.6.4		 Oh U15 K20 12 24 10 6{4}+4{6}
79 Кубоусечённый кубооктаэдр[англ.]
(Кубооктоусечённый кубооктаэдр)		 Тетрадиакисгексаэдр[англ.] 4/33 4|
8/3.6.8		 Oh U16 K21 48 72 20 8{6}+6{8}+6{8/3}
80 Битригональный додекаэдр[англ.] Средний триамбикикосаэдр[англ.] ↗ Перенаправить на Большой триамбикикосаэдр 3|5/35
(5/3.5)3		 Ih U41 K46 20 60 24 12{5}+12{5/2
81 Большой битригональный додекоикосододекаэдр[англ.] Большой битриагональный додекакронный гексаконтаэдр[англ.] 3 5|5/3
10/3.3.10/3.5		 Ih U42 K47 60 120 44 20{3}+12{5}+12{10/3}
82 Малый битригональный додекоикосододекаэдр[англ.] Малый битриагональный додекакронный гексаконтаэдр[англ.] 5/33|5
10.5/3.10.3		 Ih U43 K48 60 120 44 20{3}+12{5/2}+12{10}
83 Икосододекододекаэдр[англ.] Средний икосакронный
гексаконтаэдр[англ.]		 5/35|3
6.5/3.6.5		 Ih U44 K49 60 120 44 12{5}+12{5/2}+20{6}
84 Икосоусечённый додекододекаэдр[англ.]
(Икосододекоусечённый икосододекаэдр)		 Тридиакисикосаэдр[англ.] 5/33 5|
10/3.6.10		 Ih U45 K50 120 180 44 20{6}+12{10}+12{10/3}
85 Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр[англ.]
(Квазиромбокубооктаэдр)		 Большой дельтоидный икосотетраэдр[англ.] 3/24|2
4.3/2.4.4		 Oh U17 K22 24 48 26 8{3}+(6+12){4}
86 Малый ромбогексаэдр[англ.] Малый ромбогексакрон[англ.] 3/22 4|
4.8.4/3.8		 Oh U18 K23 24 48 18 12{4}+6{8}
87 Большой битригональный икосододекаэдр[англ.] Большой триамбикикосаэдр 3/2|3 5
(5.3.5.3.5.3)/2		 Ih U47 K52 20 60 32 20{3}+12{5}
88 Большой икосоикосододекаэдр[англ.] Большой икосакронный гексаконтаэдр[англ.] 3/25|3
6.3/2.6.5		 Ih U48 K53 60 120 52 20{3}+12{5}+20{6}
89 Малый икосогемидодекаэдр[англ.] Малый икосогемидодекакрон[англ.] 3/23|5
10.3/2.10.3		 Ih U49 K54 30 60 26 20{3}+6{10}
90 Малый додекоикосаэдр[англ.] Малый додекоикосакрон[англ.] 3/23 5|
10.6.10/9.6/5		 Ih U50 K55 60 120 32 20{6}+12{10}
91 Малый додекогемидодекаэдр[англ.] Малый додекогемидодекакрон[англ.] 5/45|5
10.5/4.10.5		 Ih U51 K56 30 60 18 12{5}+6{10}
92 Звёздчатый усечённый гексаэдр[англ.]
(Квазиусечённый гексаэдр)		 Большой триакисоктаэдр[англ.] 2 3|4/3
8/3.8/3.3		 Oh U19 K24 24 36 14 8{3}+6{8/3}
93 Большой усечённый кубооктаэдр[англ.]
(Квазиусечённый кубооктаэдр)		 Большой дисдиакисдодекаэдр[англ.] 4/32 3|
8/3.4.6		 Oh U20 K25 48 72 26 12{4}+8{6}+6{8/3}
94 Большой икосододекаэдр Большой ромбический тридцатигранник 2|5/23
(5/2.3)2		 Ih U54 K59 30 60 32 20{3}+12{5/2}
95 Усечённый большой икосаэдр[англ.] Большой звёздчатый пентакисдодекаэдр[англ.] 25/2|3
6.6.5/2		 Ih U55 K60 60 90 32 12{5/2}+20{6}
96 Ромбоикосаэдр[англ.] Ромбоикоакрон[англ.] 25/23|
6.4.6/5.4/3		 Ih U56 K61 60 120 50 30{4}+20{6}
97 Малый звёздчатый усечённый додекаэдр[англ.]
(Квазиусечённый звёздчатый додекаэдр)		 Большой пентакисдодекаэдр[англ.] 2 5|5/3
10/3.10/3.5		 Ih U58 K63 60 90 24 12{5}+12{10/3}
98 Усечённый додекадодекаэдр[англ.]
(Квазиусечённый додекаэдр)		 Средний дисдиакистриаконтаэдр[англ.] 5/32 5|
10/3.4.10		 Ih U59 K64 120 180 54 30{4}+12{10}+12{10/3}
99 Большой додекоикосододекаэдр[англ.] Большой додекакроникгексаконтаэдр[англ.] 5/23|5/3
10/3.5/2.10/3.3		 Ih U61 K66 60 120 44 20{3}+12{5/2}+12{10/3 }
100 Малый додекогемиикосаэдр[англ.] Малый додекогемиикосакрон[англ.] 5/35/2|3
6.5/3.6.5/2		 Ih U62 K67 30 60 22 12{5/2}+10{6}
101 Большой додекоикосаэдр[англ.] Большой додекоикосакрон[англ.] 5/35/23|
6.10/3.6/5.10/7		 Ih U63 K68 60 120 32 20{6}+12{10/3}
102 Большой додекогемиикосаэдр[англ.] Большой додекогемиикосакрон[англ.] 5/45|3
6.5/4.6.5		 Ih U65 K70 30 60 22 12{5}+10{6}
103 Большой ромбогексаэдр Большой ромбогексакрон 4/33/22|
4.8/3.4/3.8/5		 Oh U21 K26 24 48 18 12{4}+6{8/3}
104 Большой звёздчатый усечённый додекаэдр[англ.]
(Квазиусечённый большой звёздчатый додекаэдр)		 Большой триакисикосаэдр[англ.] 2 3|5/3
10/3.10/3.3		 Ih U66 K71 60 90 32 20{3}+12{10/3}
105 Невыпуклый большой ромбоикосододекаэдр[англ.]
(Квазиромбоикосододекаэдр)		 Большой дельтоидальный гексаконтаэдр[англ.] 5/33|2
4.5/3.4.3		 Ih U67 K72 60 120 62 20{3}+30{4}+12{5/2}
106 Большой икосогемидодекаэдр[англ.] Большой икосогемидодекакрон[англ.] 3 3|5/3
10/3.3/2.10/3.3		 Ih U71 K76 30 60 26 20{3}+6{10/3}
107 Большой додекогемидодекаэдр[англ.] Большой додекогемидодекакрон[англ.] 5/35/2|5/3
10/3.5/3.10/3.5/2		 Ih U70 K75 30 60 18 12{5/2}+6{10/3}
108 Большой усечённый икосододекаэдр[англ.]
(Большой квазиусечённый икосододекаэдр)		 Большой дисдиакистриаконтаэдр[англ.] 5/32 3|
10/3.4.6		 Ih U68 K73 120 180 62 30{4}+20{6}+12{10/3}
109 Большой ромбододекаэдр[англ.] Большой ромбододекакрон[англ.] 3/25/32|
4.10/3.4/3.10/7		 Ih U73 K78 60 120 42 30{4}+12{10/3}
110 Малый плосконосый икосоикосододекаэдр[англ.] Малый шестиугольный гексаконтаэдр[англ.] |5/23 3
3.3.3.3.3.5/2		 Ih U32 K37 60 180 112 (40+60){3}+12{5/2}
111 Плосконосый додекододекаэдр[англ.] Средний пятиугольный гексаконтаэдр[англ.] |25/25
3.3.5/2.3.5		 I U40 K45 60 150 84 60{3}+12{5}+12{5/2}
112 Плосконосый икосододекододекаэдр[англ.] Средний шестиугольный гексаконтаэдр[англ.] |5/33 5
3.3.3.3.5.5/3		 I U46 K51 60 180 104 (20+6){3}+12{5}+12{5/2}
113 Большой вывернутый плосконосый икосододекаэдр[англ.] Большой вывернутый пятиугольный гексаконтаэдр[англ.] |5/32 3
3.3.3.3.5/3		 I U69 K74 60 150 92 (20+60){3}+12{5/2}
114 Вывернутый плосконосый додекододекаэдр[англ.] Малый вывернутый пятиугольный гексаконтаэдр[англ.] |5/32 5
3.5/3.3.3.5		 I U60 K65 60 150 84 60{3}+12{5}+12{5/2}
115 Большой плосконосый додекоикосододекаэдр[англ.] Большой шестиугольный гексаконтаэдр[англ.] |5/35/23
3.5/3.3.5/2.3.3		 I U64 K69 60 180 104 (20+60){3}+(12+12){5/2}
116 Большой плосконосый икосододекаэдр[англ.] Большой пятиугольный гексаконтаэдр[англ.] |25/25/2
3.3.3.3.5/2		 I U57 K62 60 150 92 (20+60){3}+12{5/2}
117 Большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр Большой пентаграммный гексаконтаэдр[англ.] |3/25/32
(3.3.3.3.5/2)/2		 I U74 K79 60 150 92 (20+60){3}+12{5/2}
118 Малый вывернутый обратноплосконосый икосоикосододекаэдр[англ.] Малый гексаграммный гексаконтаэдр[англ.] |3/23/25/2
(3.3.3.3.3.5/2)/2		 Ih U72 K77 180 60 112 (40+60){3}+12{5/2}
119 Большой биромбоикосододекаэдр[англ.] Большой биромбоикосододекрон[англ.] |3/25/335/2
(4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2)/2		 Ih U75 K80 60 240 124 40{3}+60{4}+24{5/2}

См. также

Литература

  • М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974.
    Ошибки в книге Веннинджера. Для многогранника W90 вершинная фигура ошибочно показана как имеющая параллельные рёбра. Для многогранника W106 даны неверные чертежи заготовок, вследствие чего в получаемой модели отсутствуют некоторые видимые части однородного многогранника. У многогранников W113 и W116 перепутаны названия.
  • Magnus Wenninger. Spherical Models. — Cambridge University Press, 1979. — ISBN 0-521-29432-0.

Ссылки