Гипотеза Фирузбэхт

Функция промежутков между простыми числами

Гипотеза Фирузбэхт[1][2] — это гипотеза о распределении простых чисел. Гипотеза носит имя иранского математика Фариды Фирузбэхт (1962—2019) из университета в Исфахане, которая высказала её в 1982 году.

Утверждение гипотезы

Гипотеза утверждает, что ${\displaystyle p_{n}^{1/n}}$ (где ${\displaystyle p_{n}}$ — n-е простое число) является строго убывающей функцией от n, т. е.

${\displaystyle {\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n}}}}$ для всех ${\displaystyle n\geqslant 1.}$

Эквивалентно:

${\displaystyle p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}}}$ для всех ${\displaystyle n\geqslant 1,}$

см. последовательности A182134, A246782.

Подтверждение гипотезы

Используя таблицу максимальных интервалов, Фарида Фирузбэхт проверила свою гипотезу до 4,444⋅10^12[2]. С расширенной таблицей максимальных промежутков гипотеза была проверена для всех простых чисел до ${\displaystyle 10^{19}}$[3][4].

Связь с другими гипотезами

Если гипотеза верна, то функция интервалов между простыми числами ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ должна удовлетворять неравенству[5]

${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}}$ для всех ${\displaystyle n>4.}$

Более того[6],

${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1}$ для всех ${\displaystyle n>9,}$

см. также последовательность A111943. Гипотеза находится среди наиболее сильных гипотез о верхних границах для интервалов между простыми числами, она даже несколько сильнее гипотез Крамера и Шенкса[4]. Из гипотезы вытекает сильная форма гипотезы Крамера, а потому она несовместима с эвристикой Гранвилла, Пинтца[7][8][9] и Майера[10][11], в которой предполагается, что

${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}}$

встречается бесконечно много раз для любого ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ где ${\displaystyle \gamma }$ означает константу Эйлера — Маскерони.

Две связанные гипотезы (см. комментарии к последовательности A182514)

${\displaystyle \left({\frac {\log p_{n+1}}{\log p_{n}}}\right)^{n}<e,}$

которая несколько слабее, и

${\displaystyle \left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<n\log n}$ для всех ${\displaystyle n>5,}$

которая сильнее.

См. также

• Теорема о распределении простых чисел

Ссылки

• Hans Riesel. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Second Edition (англ.). — Birkhauser^[англ.], 1985. — ISBN 3-7643-3291-3.

Литература

• Paulo Ribenboim. The Little Book of Bigger Primes Second Edition (англ.). — 2004. — ISBN 0-387-20169-6.
• Carlos Rivera. Conjecture 30. The Firoozbakht Conjecture (англ.). — 2012.
• Granville A. Harald Cramér and the distribution of prime numbers (англ.) // Scandinavian Actuarial Journal. — 1995. — Vol. 1.
• Andrew Granville. Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers (англ.) // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. — 1995. — Vol. 1.
• János Pintz. Cramér vs. Cramér: On Cramér's probabilistic model for primes (англ.) // Funct. Approx. Comment. Math.. — 2007. — Vol. 37, iss. 2.
• Leonard Adleman, Kevin McCurley. Open Problems in Number Theoretic Complexity, II. Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994) (англ.). — Berlin: Springer, 1994. — Vol. 877. — (Lecture Notes in Comput. Sci.).
• Helmut Maier. Primes in short intervals (англ.) // The Michigan Mathematical Journal. — 1985. — Vol. 32, iss. 2. — ISSN 0026-2285. — doi:10.1307/mmj/1029003189.
• Alexei Kourbatov. Prime Gaps: Firoozbakht Conjecture (англ.). — 2018.
• Nilotpal Kanti Sinha. On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture (англ.). — 2010. — arXiv:1010.1399.
• Alexei Kourbatov. Upper bounds for prime gaps related to Firoozbakht’s conjecture (англ.) // Journal of Integer Sequences. — 2015. — Vol. 18. — arXiv:1506.03042.

Примечания

1. Ribenboim, 2004, с. 185.
2. Rivera, 2012.
3. Gaps between consecutive primes (англ.). Дата обращения: 25 марта 2018. Архивировано 10 сентября 2012 года.
4. Kourbatov, 2018.
5. Sinha, 2010, с. 1–10.
6. Kourbatov, 2015.
7. Granville, 1995, с. 12–28.
8. Granville, 1995, с. 388–399.
9. Pintz, 2007, с. 232–471.
10. Adleman, McCurley, 1994, с. 291–322.
11. Maier, 1985, с. 221–225.