Гипотеза Буняковского

Гипотеза Буняковского гласит, что если ${\displaystyle f(x)}$ — целозначный неприводимый многочлен и d — наибольший общий делитель всех его значений в целых точках, то целозначный многочлен ${\displaystyle f(x)/d}$ принимает бесконечно много простых значений.

Если ${\displaystyle f(x)=kx+b}$ — линейная функция, то наибольший общий делитель её значений равен ${\displaystyle {\text{НОД}}(k,b)}$. И тогда по теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии линейная функция ${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {kx+b}{d}}}$ принимает бесконечное множество простых значений (видно, что ${\displaystyle f_{1}(x)}$ целозначна). То есть гипотеза сформулирована корректно.

4-я проблема Ландау — частный случай этой гипотезы при ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1.}$

В статье Bateman, Horn[1] приведена общая эвристическая формула, из которой следует, что плотность простых значений неприводимого многочлена ${\displaystyle f(x)}$, удовлетворяющая условиям гипотезы Буняковского, описывается как

${\displaystyle \pi _{f}(N)\sim {\frac {C(f)}{\deg f}}\int \limits _{2}^{N}{\frac {dt}{\ln t}},}$

где ${\displaystyle \pi _{f}(N)}$ — количество целых ${\displaystyle n\leq N}$ таких что ${\displaystyle f(n)}$ простое число, и константа ${\displaystyle C(f)=\prod \limits _{p}{\frac {1-{\frac {\omega (p)}{p}}}{1-{\frac {1}{p}}}}}$, где ${\displaystyle p}$ пробегает простые числа и ${\displaystyle \omega (p)}$ — число решений сравнения ${\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p}}}$ в поле ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p).}$

Пример

Покажем, например, как можно оценить ${\displaystyle C(f)}$ при ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$. Тогда ${\displaystyle \omega (2)=1}$, при ${\displaystyle p\equiv -1{\pmod {4}}}$ будет ${\displaystyle \omega (p)=0}$, а при ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ будет ${\displaystyle \omega (p)=2}$. Остается только численно вычислить произведение.

См. также

• Открытые математические проблемы — проблемы из других разделов математики
• Открытые проблемы в теории чисел
• Гипотеза H

Примечания

1. Heuristic asymptotic formula concerning a distribution of prime numbers  (неопр.). Дата обращения: 12 января 2012. Архивировано 27 декабря 2011 года.

Литература

• Paul T. Bateman, Roger A. Horn. A heuristic asymptotic formula concerning the distribution of prime numbers (англ.) // Math. Comp.. — 1962. — Vol. 17, no. 84. — P. 445—447.
• В. Серпинский. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — М.—Л.: Физматлит, 1963. — 92 с.
• S. Lang. Bunyakovskii conjecture (Архивная копия от 27 сентября 2013 на Wayback Machine), Encyclopedia of Mathematics, ISBN 1402006098.
• Ed. Pegg, Jr. Bouniakowsky conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Rupert, Wolfgang M. (5 августа 1998). "Reducibility of polynomials f(x, y) modulo p". arXiv:math/9808021. {{cite arXiv}}: |class= игнорируется (справка)
• Bouniakowsky V. Nouveaux théorèmes relatifs à la distinction des nombres premiers et à la décomposition des entiers en facteurs (фр.) // Mém. Acad. Sc. St. Pétersbourg. — 1857. — P. 305—329.