Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

Дирихле доказал, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l и k справедливо следующее:

Пусть ${\displaystyle l,k>0}$ — целые числа, и ${\displaystyle (l,k)=1}$. Тогда существует бесконечно много простых чисел ${\displaystyle p}$ таких, что ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$.

История доказательств

Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательства теоремы элементарными методами[1]. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

Вариации

При рассмотрении простых ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$ довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.

Например, кроме основного утверждения теоремы, Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle \lim _{s\to 1+}{\frac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}={\frac {1}{\varphi (k)}},}$

где суммирование ведётся по всем простым числам ${\displaystyle p}$ с условием ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$, а ${\displaystyle \varphi }$ — функция Эйлера.

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов ${\displaystyle {\bmod {k}}}$, поскольку

${\displaystyle \lim _{s\to 1+}{\dfrac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}=1,}$

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Известно, что для любых взаимно простых чисел ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle k}$ ряд ${\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}}$, где суммирование ведётся по простым ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$, расходится.

См. также

• Характеры — основной математический инструмент изучения простых чисел в арифметической прогрессии

Примечания

1. Ю. В. Линник, А. О. Гельфанд. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — Физматгиз, 1962.

Литература

Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1986.