Гипотеза Гильбрайта

Гипотеза Гильбрайта — гипотеза в теории чисел, утверждающая, что если взять последовательность простых чисел и итерационно применять к ней разностный оператор, то получаемые на каждом шаге последовательности всегда будут начинаться на 1. Гипотеза получила известность после того, как была опубликована в 1958 году Норманом Гильбрайтом[1]. Однако, ещё в 1878 году Франсуа Прот^[англ.] публиковал предполагаемое доказательство этой же гипотезы, которое, как затем выяснилось, было ошибочным[1].

Истоки гипотезы

Рассмотрим последовательность простых чисел

${\displaystyle 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\dots }$

Вычислим абсолютные значения разностей между каждой парой соседних членов и выпишем полученную последовательность:

${\displaystyle 1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\dots }$

Продолжая выполнять данную операцию для каждой новой полученной последовательности, будем получать следующее:

${\displaystyle 1,0,2,2,2,2,2,2,4,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,0,0,0,2,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,0,0,2,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,0,2,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,2,\dots }$

Видим, что первый элемент каждой последовательности равен ${\displaystyle 1}$.

Гипотеза

Сформулировать гипотезу Гильбрайта проще, если ввести некоторые обозначения для последовательностей из предыдущей секции. обозначим ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ упорядоченную последовательность простых чисел ${\displaystyle p_{n}}$, и определим члены последовательности ${\displaystyle \{d_{n}\}}$ как

${\displaystyle d_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$,

где n — натуральное. Считаем также, что ${\displaystyle \{d_{n}\}=\{d_{n}^{1}\}}$ и для каждого натурального ${\displaystyle k>1}$, определим последовательность ${\displaystyle \{d_{n}^{k}\}}$ формулой

${\displaystyle d_{n}^{k}=|d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|}$.

(здесь ${\displaystyle k}$ — это не степень, а верхний индекс)

Гипотеза Гильбрайта утверждает, что каждый член последовательности ${\displaystyle a_{k}=d_{1}^{k}}$ равен ${\displaystyle 1}$.

Проверка и попытки доказательства

На 2011 год не было правильного опубликованного доказательства гипотезы. Как уже говорилось во введении, Франсуа Прот^[англ.] привёл доказательство утверждения, однако позже было показано, что оно ошибочно. Эндрю Одлыжко^[англ.] в 1993 проверил, что ${\displaystyle d_{1}^{k}}$ равно 1 для всех ${\displaystyle k\leqslant n=3{,}4\cdot 10^{11}}$[2], но гипотеза остается открытой проблемой. Вместо вычисления всех ${\displaystyle n}$ рядов таблицы, Одлыжко вычислил 635 рядов и установил, что 635-й ряд начинается с 1 и далее вплоть до ${\displaystyle n}$-го элемента состоит только из чисел 0 и 2. Отсюда следует, что все последующие ${\displaystyle n}$ рядов начинаются с единицы.

Последовательности для простых чисел до 150

В таблице ниже нули выделены зелёным цветом, единицы — красным, двойки — синим, прочие числа — серым. Суть гипотезы состоит в том, что серая область никогда не достигнет красного столбца из единиц.

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149
1	2	2	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	6	6	2	6	4	2	6	4	6	8	4	2	4	2	4	14	4	6	2	10
1	0	2	2	2	2	2	2	4	4	2	2	2	2	0	4	4	2	2	4	2	2	2	4	2	2	2	2	10	10	2	4	8
1	2	0	0	0	0	0	2	0	2	0	0	0	2	4	0	2	0	2	2	0	0	2	2	0	0	0	8	0	8	2	4
1	2	0	0	0	0	2	2	2	2	0	0	2	2	4	2	2	2	0	2	0	2	0	2	0	0	8	8	8	6	2
1	2	0	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	2	2	0	8	0	0	2	4
1	2	0	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	0	2	0	2	0	0	0	0	0	0	2	8	8	0	2	2
1	2	0	2	0	2	0	2	0	0	0	0	2	2	2	2	2	0	0	0	0	0	2	6	0	8	2	0
1	2	2	2	2	2	2	2	0	0	0	2	0	0	0	0	2	0	0	0	0	2	4	6	8	6	2
1	0	0	0	0	0	0	2	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	2	2	2	4
1	0	0	0	0	0	2	2	0	2	0	2	0	0	2	0	2	0	0	2	0	0	0	0	2
1	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	2	2	2	2	0	2	2	0	0	0	2
1	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	2	0	0	2
1	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	0	2	0	2	2	2	0	2
1	0	2	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	0	2	2	2	0	0	2	2
1	2	0	2	2	0	2	0	2	0	0	0	2	2	0	0	2	0	2	0
1	2	2	0	2	2	2	2	2	0	0	2	0	2	0	2	2	2	2
1	0	2	2	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	0	0
1	2	0	2	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	0	0
1	2	2	2	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	2	0
1	0	0	2	0	2	2	0	2	2	0	0	2	0	2
1	0	2	2	2	0	2	2	0	2	0	2	2	2
1	2	0	0	2	2	0	2	2	2	2	0	0
1	2	0	2	0	2	2	0	0	0	2	0
1	2	2	2	2	0	2	0	0	2	2
1	0	0	0	2	2	2	0	2	0
1	0	0	2	0	0	2	2	2
1	0	2	2	0	2	0	0
1	2	0	2	2	2	0
1	2	2	0	0	2
1	0	2	0	2
1	2	2	2
1	0	0
1	0
1

См. также

• Пробелы между простыми
• Открытые проблемы в теории чисел

Примечания

1. Caldwell, Chris, The Prime Glossary: Gilbreath's conjecture, The Prime Pages, Архивировано 26 мая 2012 Источник  (неопр.). Дата обращения: 3 февраля 2012. Архивировано 24 марта 2012 года..
2. Odlyzko, A. M. (1993), Iterated absolute values of differences of consecutive primes, Mathematics of Computation, 61: 373–380, Архивировано 27 сентября 2011, Дата обращения: 3 февраля 2012 Источник  (неопр.). Дата обращения: 3 февраля 2012. Архивировано 27 сентября 2011 года..

Литература

• В.  Серпинский. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — Л., ФизМатЛит, 1963.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Гипотеза Гильбрайта (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.