Сбалансированное простое

Сбалансированное простое — простое число, для которого интервалы между простыми числами слева и справа от числа равны, так что число равно среднему арифметическому ближайших простых:

${\displaystyle p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} \over 2}}$.

Первые сбалансированные простые числа[1]:

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103 …

Например, 53 — шестнадцатое простое число; пятнадцатое и семнадцатое числа −47 и 59, их сумма равна 106, а половина этой суммы равна 53, то есть 53 является сбалансированным простым.

Если 1 считать простым числом, 2 будет также сбалансированным простым числом. Все простые числа делятся на сбалансированные, сильные (бо́льшие среднего арифметического двух соседних простых чисел)[2] и, соответственно, слабые. Три последовательных простых числа в арифметической прогрессии иногда называются CPAP-3[3], сбалансированное простое число, по определению, второе число в CPAP-3.

Есть гипотеза, что существует бесконечно много сбалансированных простых чисел. По состоянию на 2014 год наибольшее известное сбалансированное простое имеет 10546 знаков[4]:

${\displaystyle p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429}$ при ${\displaystyle p_{n-1}=p_{n}-2430}$ и ${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+2430}$,

при этом значение ${\displaystyle n}$ (индекса в последовательности простых чисел) не установлено.

Сбалансированные простые можно обобщить до сбалансированных простых порядка ${\displaystyle n}$[5]: простое число, равное арифметическому среднему ближайших ${\displaystyle n}$ меньших и ${\displaystyle n}$ бо́льших простых чисел:

${\displaystyle p_{k}={\sum _{i=1}^{n}({p_{k-i}+p_{k+i})} \over 2n}}$.

При этом определении обычное сбалансированное число — сбалансированное число порядка 1.

Примечания

1. последовательность A006562 в OEIS
2. последовательность A051634 в OEIS
3. англ. consecutive primes in arithmetic progression
4. Наибольшие известные CPAP Архивная копия от 12 ноября 2017 на Wayback Machine. Извлечено 2014-06-13.
5. Последовательности сбалансированных чисел порядка 2, 3 и 4: A082077, A082078 и A082079 соответственно

Литература

• Sloane N., Plouffe S. The Encyclopedia of Integer Sequences. — New York: Academic Press, 1995. — ISBN 0-12-558630-2.