Числа Люка

Не следует путать с последовательностями Люка, одним из видов которых являются числа Люка.

Числа Люка́ — элементы линейной рекуррентной последовательности, заданной формулой:

${\displaystyle L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}}$

с начальными значениями ${\displaystyle L_{0}=2}$ и ${\displaystyle L_{1}=1}$; сопряжены с числами Фибоначчи. Первые значения[1]:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, …

Названы по имени Эдуарда Люка, исследовавшего «обобщённые последовательности Фибоначчи», позднее также названные его именем, одним из вариантов которых и являются числа Люка.

Последовательность ${\displaystyle L_{n}}$ можно выразить как функцию от ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}}$,

где ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — золотое сечение. При ${\displaystyle n>1}$n > 1 число ${\displaystyle |(-\varphi )^{-n}|<0{,}5}$ и с ростом ${\displaystyle n}$ всё сильнее приближается к нулю, а значит, при ${\displaystyle n>1}$ числа Люка выражаются в виде ${\displaystyle L_{n}=\lfloor \varphi ^{n}\rceil }$, где ${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$ — функция округления к ближайшему целому.

Примечательно, что числа Фибоначчи ${\displaystyle F_{n}}$ выражаются похожим образом с помощью формулы Бине:

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]}$.

Числа Люка можно также определить для отрицательных индексов по формуле ${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}}$.

Проверка простоты

Числа Люка могут использоваться для проверки чисел на простоту. Чтобы проверить, является ли число ${\displaystyle p}$ простым, берётся ${\displaystyle (p+1)}$-е число Люка и вычитается из него единица — и если полученное число не делится на ${\displaystyle p}$ нацело, то ${\displaystyle p}$ гарантированно не является простым. В противном случае число может быть как простым, так и составным и требует более тщательной проверки.

Пример проверки числа 15: 16-е число Люка — 1364; ${\displaystyle (1364-1)/{15}=90{,}866666\ldots }$, следовательно, число 15 — составное.

Пример для числа 17: 18-е число Люка равно 3571; ${\displaystyle (3571-1)/{17}=120}$, значит, число 17 может быть простым.

Связь с числами Фибоначчи

Числа Люка связаны с числами Фибоначчи следующим формулами:

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1}}$,
• ${\displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}}$,
• ${\displaystyle L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}$, и при ${\displaystyle n\to +\infty }$ отношение ${\displaystyle {\frac {L_{n}}{F_{n}}}}$ стремится к ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$
• ${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}$
• ${\displaystyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}}$
• ${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$

Примечания

1. последовательность A000032 в OEIS

Литература

• В. П. Паламодов. О многочленах, образующих возвратную последовательность 2-го порядка // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1957. — Вып. 1. — С. 139—147.
• Грант Аракелян.  Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014. — 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.