Hessiano

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

Em matemática, a matriz Hessiana de uma função "f" de n variáveis é a matriz quadrada com "n" colunas e "n" linhas (n X n) das derivadas parciais de segunda ordem da função. Por isto, esta matriz descreve a curvatura local da função "f". Matrizes Hessianas são usadas em larga escala em problemas de otimização que não usam métodos Newtonianos.

A matriz hessiana foi desenvolvida no século XIX pelo alemão Ludwig Otto Hesse, razão pela qual mais tarde James Joseph Sylvester lhe deu este nome. O próprio Hesse, ao contrário, usava o termo "determinantes funcionais".

Definição formal em termos matemáticos

Ver artigo principal: função

Ver artigo principal: Matriz (matemática)

Ver artigo principal: derivada parcial

Dada uma função real de n variáveis reais

$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f({x_{1}},{x_{2}},{x_{3}}...,x_{n}),}$$ sendo que x (em negrito) indica o vetor de dimensão ${\displaystyle n\times 1}$ das variáveis ${\displaystyle {x_{1}},{x_{2}},{x_{3}}...,x_{n}.}$

Lembre-se da notação para as derivadas parciais da função em relação às variáveis:

Em linguagem matemática	Em Português	Exemplo: função com n=2: ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f\left({x_{1}},{x_{2}}\right)=2{x_{1}}{x_{2}}^{3}}$
${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {x_{1}}}}}$	derivada parcial de primeira ordem da função "f" em relação a uma variável ${\displaystyle {x_{1}}}$	${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {x_{1}}}}={\frac {\partial \left(2{x_{1}}{x_{2}}^{3}\right)}{\partial {x_{1}}}}=2{x_{2}}^{3}}$
${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x_{1}}}}\left({\frac {\partial f}{\partial {x_{2}}}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}\,\partial {x_{2}}}}}$	A derivada da derivada (=derivada de segunda ordem): primeiro tomou-se a derivada da função "f" em relação à variável ${\displaystyle {x_{2}}}$ e depois derivou-se esta derivada em relação à variável ${\displaystyle {x_{1}}}$.[1]	${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}\,\partial {x_{2}}}}}$${\displaystyle ={\frac {\partial \left(2{x_{2}}^{3}\right)}{\partial \partial {x_{2}}}}}$${\displaystyle =6{x_{2}}^{2}}$

Se todas as derivadas parciais de "f" existirem, então a matriz hessiana de f é a matriz quadrada das derivadas de segunda ordem de f:[2]

$${\displaystyle H\left[f({x_{1}},{x_{2}},{x_{3}},...,x_{n})\right]={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}\,\partial {x_{2}}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}\,\partial x_{n}}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}\,\partial {x_{1}}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}\,\partial x_{n}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial {x_{1}}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial {x_{2}}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

Uma outra definição equivalente é: dado o vetor gradiente nX1, a matriz hessiana é sua derivada.[3] Por isso, há outras representações para a mesma matriz hessiana H acima:[4][5] $${\displaystyle H=D\left[\nabla f\left(\mathbf {x} \right)\right]=D^{2}f_{\mathbf {x} }=D^{2}f\left(\mathbf {x} \right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial (\mathbf {x} )}}(\mathbf {x} )}$$

Propriedades da matriz hessiana

• Dimensão: Como uma função com "n" variáveis tem n^2 derivadas parciais de segunda ordem, a matriz hessiana também terá n^2 elementos. Por isto, ela sempre será uma matriz quadrada de dimensão nXn.
• Fora da diagonal principal, uma matriz hessiana é composta por derivadas mistas de f.
• Simetria: Se as "segundas derivadas" de f são todas contínuas em uma região dada ${\displaystyle \Omega ,}$ consequentemente a hessiana de f é uma matriz simétrica em cada ponto de ${\displaystyle \Omega ,}$ dado que, pelo teorema de Young[6] e pelo teorema de Schwartz, nestes casos a ordem de diferenciação não importa (veja, a este respeito, simetria da segunda derivada e Teorema de Schwartz):

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x_{1}}}}\left({\frac {\partial f}{\partial {x_{2}}}}\right)=}$$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}\,\partial {x_{2}}}}}$ ${\displaystyle ={\frac {\partial }{\partial {x_{2}}}}\left({\frac {\partial f}{\partial {x_{1}}}}\right)=}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}\,\partial {x_{1}}}}}$ Para variáveis genéricas x_i e x_j, esta igualdade pode ser rescrita como: $${\displaystyle \partial _{x_{i}x_{j}}f=\partial _{x_{j}x_{i}}f}$$

Pontos Críticos e Discriminante

Se o gradiente da função f é zero em um ponto x que pertence ao domínio da função, então f em x possui um ponto crítico. O determinante do hessiano em x é chamado de discriminante em x. Se este determinante for zero, x será chamado de ponto crítico degenerado de f. Do contrário, o ponto não será degenerado.

Concavidade de funções

A matriz hessiana é útil para identificar a concavidade de funções duas vezes diferenciáveis. Seja ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)}$ uma função de n variáveis com derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas em um conjunto convexo aberto S.

• A função é côncava (e portanto semicôncava também) se e somente se a matriz hessiana for semidefinida negativa
• Se a matriz hessiana é definida negativa, então a função é estritamente côncava. Isso não significa, no entanto, que se a função for estritamente côncava, então H(f) é negativa definida para todo x pertencente a S[7].
• Se a matriz hessiana for definida positiva, então a função é estritamente convexa
• A função é convexa se a matriz hessiana é semidefinida positiva

Propriedade da função	Propriedade da matriz hessiana
	Semidefinida		Definida
	Positiva	Negativa	Positiva	Negativa
Função côncava (e portanto também quasicôncava)		X
Função convexa	X
Função estritamente côncava				X
Função estritamente convexa			X

Exemplo simples: como encontrar a matriz hessiana

Considere a função ${\displaystyle f\left(x,y\right)=2x-y+2xy-x^{2}-y^{2}}$ definida no conjunto de todos os pares de números. Sua matriz hessiana é: $${\displaystyle H\left[f(x,y)\right]={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2&2\\2&-2\end{bmatrix}}}$$

que é uma matriz negativa semidefinida, portanto f é côncava. Note que neste caso o Hessiano não depende de x e y, mas em geral depende[7]

Uso da matriz hessiana para caracterizar pontos críticos

Ver artigo principal: Ponto crítico (funções)

Ver artigo principal: Determinante

Dada a função ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f({x_{1}}^{*},{x_{2}}^{*},{x_{3}}^{*},\ldots ,x_{n}^{*}),}$ a condição necessária para que um determinado ponto ${\displaystyle ({x_{1}}^{*},{x_{2}}^{*},{x_{3}}^{*}\ldots ,x_{n}^{*})}$ seja um ponto crítico é que todas as derivadas parciais, calculadas naquele ponto específico, sejam iguais a zero.[6] No entanto, para definir se este ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou de sela, é preciso calcular o determinante da matriz hessiana e seus menores principais. Para isso, pode-se seguir os seguintes passos:

1. Calcular as "n" derivadas de primeira ordem da função f. O resultado serão "n" funções das variáveis do vetor n × 1 ${\displaystyle \mathbf {x} .}$
2. Igualar cada uma das "n" funções do item 1 a zero. Com isso, serão descobertos valores para cada uma das variáveis ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}.}$ Chamaremos estes valores, cujas coordenadas compõem o ponto crítico, de ${\displaystyle ({x_{1}}^{*},{x_{2}}^{*},{x_{3}}^{*},\ldots ,x_{n}^{*}).}$ Igualmente, o vetor nX1 destes valores (números) será chamado de ${\displaystyle \mathbf {x^{*}} ={\begin{bmatrix}{x_{1}}^{*}\\{x_{2}}^{*}\\{x_{3}}^{*}\\\vdots \\x_{n}^{*}\end{bmatrix}}.}$ Reservar este ponto crítico.
3. A partir das derivadas de primeira ordem calculadas no item 1, calcular as derivadas de segunda ordem da função f e montar a matriz hessiana nXn. Notar que é possível que muitos elementos desta matriz sejam função das variáveis ${\displaystyle ({x_{1}},{x_{2}},\ldots ,x_{n}).}$
4. Substitua as variáveis ${\displaystyle ({x_{1}},{x_{2}},{x_{3}},\ldots ,x_{n}),}$ presentes na matriz hessiana montada no item 3, pelos valores correspondentes do ponto crítico, ou seja, pelos valores do vetor ${\displaystyle \mathbf {x^{*}} .}$ A matriz resultante não terá mais variáveis, somente números. Por exemplo, a derivada da função f em relação à variável ${\displaystyle {x_{2}},}$ por sua vez derivada em relação à variável ${\displaystyle {x_{1}},}$ calculada para o vetor ${\displaystyle (\mathbf {x^{*}} ),}$ será representado por ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}\,\partial {x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )}$ e significa um número.
5. A partir da matriz resultante do item 4, calcular os menores principais. Os resultados serão números.
   • ${\displaystyle \left|H_{1}\right\vert =\left|{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )\right\vert ,}$
   • ${\displaystyle \left|H_{2}\right\vert ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}\,\partial {x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}\,\partial {x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\end{vmatrix}}}$
   • ${\displaystyle \left|H_{3}\right\vert ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}\,\partial {x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}\,\partial {x_{3}}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}\,\partial {x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}\,\partial {x_{3}}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{3}}\,\partial {x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{3}}\,\partial {x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{3}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\end{vmatrix}}}$
   • ...
   • ${\displaystyle \left|H_{n}\right\vert ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}\,\partial {x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}\,\partial x_{n}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}\,\partial {x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}\,\partial x_{n}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial {x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial {x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )\end{vmatrix}}=\left|H_{n}\right\vert }$=determinante da matriz hessiana calculada no item 4.
6. Verificar o sinal dos menores principais do item 5[8]:

   Condição	A matriz H	O ponto crítico ${\displaystyle ({x_{1}}^{*},{x_{2}}^{*},{x_{3}}^{*},\ldots ,x_{n}^{*})}$
   ${\displaystyle \left|H_{1}\right\vert >0,\left|H_{2}\right\vert >0,\left|H_{3}\right\vert >0,\ldots }$	É positiva definida	É ponto de mínimo.
   ${\displaystyle \left|H_{1}\right\vert <0,\left|H_{2}\right\vert >0,\left|H_{3}\right\vert <0,\ldots }$	É negativa definida	É ponto de máximo.

Ver também

• Matriz jacobiana

Notas e referências

1. SIMON & BLUME (2004), p. 339.
2. SIMON & BLUME (2004), p. 340.
3. INTRILIGATOR (1971), p. 498.
4. INTRILIGATOR (1971), p. 499.
5. MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael D, e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University press, 1995. ISBN 978-0-19-507340-9. Mathematiocal Appendix, "M.A Matrix Notation for Derivatives", p. 927.
6. CHIANG (1984), p. 332.
7. Concave and convex functions of many variables. Disponível em: <http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/CVN.HTM#p:CcvConds>. Acesso em 10 de abril de 2011.
8. CHIANG (1984), p. 333.

Referências

• SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Mátemática para economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004. Reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9.
• INTRILIGATOR, Michael D. Mathematical Optimization and Economic Theory. 1971, Prentice-Hall. Inc. Englewood Cliffs, N.J. printed in the United states of America 13-561753-7. Library of Congress Catalog Card Number: 72-127059. Appendix B, "Matrices".
• CHIANG, Alpha C. Fundamental Methods in Mathematical Economics. 3ª edição. McGraw-Hill, Inc. 1984. ISBN 0-07-010813-7. Seção 11.4, "Objective functions with more than two variables".