Regra do produto

 Nota: Se procura pela regra do princípio da contagem, veja Regra do produto (combinatória).

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

Em matemática, a regra do produto, também designada por "lei de Leibniz", é uma regra que permite a diferenciação de produtos de funções diferenciáveis. Esta regra diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.[1]

Formalmente, a regra pode ser apresentada da seguinte maneira: sejam f e g duas funções diferenciáveis. Então,

Em linguagem matemática	Em português
${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$	A derivada do produto de f por g é igual à soma de dois produtos: 1) a derivada de f vezes a função g e 2) a derivada de g vezes a função f
Ou, o que é a mesma coisa, ${\displaystyle {d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=g(x){{d \over dx}\left[f(x)\right]}+f(x){{d \over dx}\left[g(x)\right]}}$

ou, segundo a notação de Leibniz:

${\displaystyle {d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}.}$

A derivada do produto de três variáveis, por sua vez, é, ainda na notação de Leibniz:

${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+{\dfrac {dv}{dx}}\cdot u\cdot w+{\dfrac {dw}{dx}}\cdot u\cdot v}$

Demonstração simplificada, e ilustrada geometricamente[2]

Figura 1. Ilustração geométrica da régra do produto.

Sejam ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ duas funções diferenciáveis de ${\displaystyle x}$. Definindo ${\displaystyle u=f(x)}$  e  ${\displaystyle v=g(x)}$, a área ${\displaystyle uv}$ do retângulo (ver Figura 1) é representada por ${\displaystyle f(x)g(x)}$.

se ${\displaystyle x}$ varia por ${\displaystyle \Delta x}$, as variações correspondentes em ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ são designadas por ${\displaystyle \Delta u}$ e ${\displaystyle \Delta v}$.

A variação da área do retângulo é então:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (uv)&=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv\\&=(\Delta u)v+u(\Delta v)+(\Delta u)(\Delta v),\end{aligned}}}$

isto é, a soma das três áreas sombreadas na Figura 1.

Dividindo por ${\displaystyle \Delta x}$ :

${\displaystyle {\frac {\Delta (uv)}{\Delta x}}=\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)v+u\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)+\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)\Delta x.}$

E tomando o limite ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$, obtém-se:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(uv)=\left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\right)v+u\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\right).}$

Exemplo

Seja uma função ${\displaystyle h(x)=xe^{x}}$. Note que esta função é na verdade o produto de duas funções, que podemos chamar de f e g, sendo f(x)=x e ${\displaystyle g(x)=e^{x}}$. Para derivar h(x), utilizamos a regra do produto:

${\displaystyle {d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=g(x)\cdot {{d \over dx}\left[f(x)\right]}+f(x)\cdot {{d \over dx}\left[g(x)\right]}=}$

Substituindo f(x) por x, g(x) por e ${\displaystyle e^{x}}$, a derivada de g(x) por ${\displaystyle e^{x}}$ (pois a derivada de ${\displaystyle e^{x}}$ é ${\displaystyle e^{x}}$) e a derivada de f(x) por 1, teremos:

${\displaystyle ={d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=e^{x}\cdot 1+x\cdot e^{x}=(x+1)e^{x}}$

Referências

1. STEWART, James. Cálculo - volume 1. 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 190.
2. A parte algébrica da seguinte demonstração é equivalente à apresentada no livro Calculus: An Introductory Approach (1961), de Ivan Niven, nas páginas 75 e 76.

Ver também

• Derivada
• Função composta
• Integral
• Cálculo

• Portal da matemática

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