Teste da raiz

O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, ele é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor

Enunciado

Seja ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ uma série numérica e a constante ${\displaystyle k}$ definida pelo limite:

• ${\displaystyle k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$

Então:

• Se ${\displaystyle k<1}$, a série converge absolutamente
• Se ${\displaystyle k>1}$ ou ${\displaystyle k=1^{+}}$, a série não converge
• Se ${\displaystyle k=1^{-}}$, nada se pode concluir

No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de ${\displaystyle k}$ por:

• ${\displaystyle k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$

Exemplo

Considere a série dada por:

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{2^{n}}}}$

${\displaystyle k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {n^{2}}{2^{n}}}}={\frac {1}{2}}\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n^{2}}}={\frac {1}{2}}<1}$

Portanto a série converge.

Exemplo 2

Considere a série dada por:

• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n(-1)^{n}}}$

${\displaystyle k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|2^{n(-1)^{n}}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|(2^{(-1)^{n}})^{n}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|2^{(-1)^{n}}|^{n}}}=}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{|2^{(-1)^{n}}|}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$, em que:

${\displaystyle b_{n}={\begin{cases}2,&{\mbox{se n par}}\\{\frac {1}{2}},&{\mbox{se n ímpar }}\end{cases}}}$

Então ${\displaystyle b_{n}}$ não tem limite, ou seja, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$ não existe.

Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos

${\displaystyle k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }(b_{n})=2>1}$

Como ${\displaystyle 2>1}$ a série é divergente.

Demonstração para k<1

Seja:

${\displaystyle k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$

Escolha ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1-k}{2}}}$ Como ${\displaystyle k<1}$, ${\displaystyle \varepsilon >0}$ e, portanto, existe um ${\displaystyle N>0}$ tal que:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<k+\varepsilon ,~~n>N}$

De forma que:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<k+\varepsilon <k+{\frac {1-k}{2}}=1+{\frac {k-1}{2}}=1-\varepsilon <1}$

Assim, ${\displaystyle |a_{n}|<(1-\varepsilon )^{n},n>N}$ e o teste da comparação nos permite concluir que a série converge, comparando-a com a série geométrica de razão ${\displaystyle q=1-\varepsilon <1}$

Demonstração para k>1

Se ${\displaystyle k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$, então existe u > 1 e uma subseqüência ${\displaystyle \{a_{n_{j}}\}_{j=1}^{\infty }}$ tal que:

${\displaystyle {\sqrt[{n_{j}}]{|a_{n_{j}}|}}\geq u,~~\forall j=1,2,3,\ldots }$

E imediatamente:

${\displaystyle |a_{n_{j}}|\geq u^{n_{j}},~~\forall j=1,2,3,\ldots }$

E portanto, ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|a_{n}|=\infty }$

Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.

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