Teorema de Green

Cálculo
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Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
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Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

Em matemática, o teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva, em outras palavras, ele estabelece uma relação entre a integral dupla de uma região D e a integral de linha ao longo de sua fronteira.[1] Este teorema foi demonstrado pelo matemático britânico George Green em 1828 e é um caso particular do Teorema de Stokes.

Enunciado

Folha de rosto do livro Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnetism, de 1828, em que se encontra a primeira demonstração do teorema de Green.

Seja C uma curva simples, fechada e derivável, D a região do plano delimitada por C, e P e Q duas funções reais de variável real com derivadas parciais contínuas numa região contendo D,[2] então:

${\displaystyle \int _{C}(Pdx+Qdy)=\int \!\!\!\int _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dA}$

Para evidenciar o fato de que a primeira integral é definida ao longo de uma curva fechada, por vezes esta é representada por:

${\displaystyle \oint _{C}(Pdx+Qdy)}$

Relação com o teorema de Stokes

O teorema de Green é um caso especial do Teorema de Kelvin-Stokes quando é aplicado a uma região no plano-xy.[3]

Podemos aumentar o campo vetorial de duas dimensões a um de três dimensões no qual a componente z é constante e igual a zero.

Vamos escrever F como uma função vetorial ${\displaystyle \mathbf {F} =(P,Q,0)}$. Começaremos com o lado esquerdo do teorema de Green:

${\displaystyle \oint _{C}(P\,dx+Q\,dy)=\oint _{C}(P,Q,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}$

Aplicando o teorema de Kelvin-Stokes:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}$

A superfície ${\displaystyle S}$ é simplesmente a região no plano ${\displaystyle D}$, com o vetor normal unitário ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ apontando na direção positiva de z, de tal maneira que coincida com as definições de "orientação positiva" para ambos os teoremas (Green e Stokes). Logo, se verifica ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {k} }$.

Desse modo, a expressão dentro da integral fica:

${\displaystyle \nabla \ \times \ \mathbf {F} \ \cdot \ \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right).}$

Desta maneira obtemos o lado direito do teorema de Green:

${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA.}$

Relação com o teorema da divergência

Outro modo de análise se dá pelo teorema da divergência, o qual pode ser aplicado a qualquer número de dimensões e se trata de um caso especial do teorema de Stokes. Em duas dimensões, é equivalente ao teorema de Green.[3]

${\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds,}$ onde ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ é o vetor normal apontando para fora da fronteira.

Para entender, considere a unidade normal na parte direita da equação. Como ${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)}$ é um vetor apontando tangencialmente através de uma curva, e a curva C está orientada de maneira positiva através da fronteira, um vetor normal apontando para fora da fronteira seria aquele que aponta em 90º horizontalmente, o qual poderia ser ${\displaystyle (dy,-dx)}$. O módulo de este vetor é ${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds}$. Portanto ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds=(dy,-dx)}$.

Tomando as componentes de ${\displaystyle \mathbf {F} =(Q,-P)}$, o lado direito se converte em

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds{\mbox{ }}=\int _{C}(Q,-P)\cdot (dy,-dx)=\int _{C}(Q{\mbox{ }}dy+P{\mbox{ }}dx)}$

que por meio do teorema de Green resulta em:

${\displaystyle \int _{C}(P{\mbox{ }}dx{\mbox{ }}+{\mbox{ }}Q{\mbox{ }}dy)=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (Q,-P)\right)dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA}$

Cálculo de área

A utilização do teorema de Green permite calcular a área delimitada por uma curva parametrizada e fechada.

Seja ${\displaystyle D}$ um domínio do plano ao qual o teorema de Green se aplica e seja ${\displaystyle C=\partial D}$ a fronteira, orientada positivamente em relação a ${\displaystyle D}$. Temos:[4]

$${\displaystyle {\mathcal {A(D)}}=\iint _{\mathcal {D}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{\mathcal {C}}-y\mathrm {d} x=\int _{\mathcal {C}}x\mathrm {d} y=1/2\int _{\mathcal {C}}-y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y}$$

e tendo respectivamente ${\displaystyle P\left(x,y\right)=-y}$ e ${\displaystyle Q\left(x,y\right)=0}$, ou ${\displaystyle P\left(x,y\right)=0}$ e ${\displaystyle Q\left(x,y\right)=x}$, ou enfim ${\displaystyle P\left(x,y\right)=-y/2}$ e ${\displaystyle Q\left(x,y\right)=x/2}$, cada um desses três casos verifica que ${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}=1.}$

Vamos mostrar o exemplo de uma elipse cuja borda é parametrizada por:

$${\displaystyle t\mapsto \left(a\cos {t},b\sin {t}\right)}$$

Onde t pertence aos reais e variando de 0 até 2π.

Temos:

${\displaystyle P\left(x,y\right)\,\mathrm {d} x=-{\frac {y}{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {b\sin(t)}{2}}a\sin(t)\,\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Q\left(x,y\right)\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2}}\,\mathrm {d} y={\frac {a\cos(t)}{2}}b\cos(t)\,\mathrm {d} t}$

Obtendo:

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=1/2\int _{\mathcal {C}}-y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y=\int _{0}^{2\pi }{\frac {ab}{2}}\mathrm {d} t=\pi ab.}$$

Demostramos, então, que a área da elipse de semi-eixos a e b é πab.

Referências

1. VALLE, Marcos. «Teorema de Green - aula 18» (PDF). Universidade Estadual de Campinas. Consultado em 24 de novembro de 2019 
2. ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. Página 1039.
3. «Teoremas de Green e Stokes» (PDF). CESAD. Consultado em 24 de novembro de 2019 
4. VALLE, Marcos. «Teorema de Green - Aula 20» (PDF). Universidade Estadual de Campinas. Consultado em 24 de novembro de 2019 

Ver também

• Identidades de Green

• Portal da matemática