Gradiente

 Nota: Se procura Gradiente, a empresa e marca, veja Gradiente (empresa).

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração.

O módulo do vetor gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância movida quando desloca-se na direção e sentido do vetor gradiente (deslocamentos infinitesimais).

O campo vetorial e o operador gradiente possuem diversas aplicações em matemática e ciências naturais, indo desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas. A exemplo, a partir do gradiente do potencial elétrico determina-se o campo elétrico; e a partir do gradiente da energia potencial determina-se o campo de força associado.

Por exemplo, o gradiente da topografia H de um terreno, também chamado de declividade, é dado por:

${\displaystyle \nabla H={\frac {\text{distância vertical}}{\text{distância horizontal}}}}$

O símbolo ${\displaystyle \nabla }$, isto é, nabla, é a notação do operador gradiente.

Motivação: gradiente de temperatura

Gradiente em uma única direção (derivada)

Suponha que tenhamos uma viga retilínea cujas extremidades estão em contato com duas paredes a temperaturas diferentes, uma à esquerda e outra à direita, sendo a parede à direita a mais quente. Observamos que a temperatura da viga não é constante em relação ao espaço, e que cresce da esquerda para a direita ao longo de seu comprimento. Definindo a coordenada ${\displaystyle x=0}$ para a extremidade à esquerda e ${\displaystyle x=L}$ para a extremidade à direita, definimos a temperatura ${\displaystyle T}$ em uma posição qualquer (variável ${\displaystyle x}$) da viga como uma função ${\displaystyle T(x)}$.

Entre dois pontos muito próximos, distantes de um comprimento ${\displaystyle dx}$, teremos uma respectiva variação de temperatura ${\displaystyle dT}$. Em uma situação unidimensional, a razão entre essas grandezas fornece o gradiente, denotado por:$${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}T={dT \over dx}{\overrightarrow {i}}}$$Note que, para apenas uma dimensão, a noção de derivada e gradiente convergem.

Em condução térmica, o gradiente de temperatura é responsável pelo surgimento de um fluxo de calor, segundo a Lei de Fourier, que, para condução unidimensional, é representada por:$${\displaystyle q_{x}''=-k{dT \over dx}}$$onde ${\displaystyle q_{x}''}$ corresponde ao fluxo de calor, em ${\displaystyle W/m^{2}}$, e ${\displaystyle k}$ corresponde à condutividade térmica do material, em ${\displaystyle W/m.K}$. O sinal negativo indica que o calor fluirá do corpo mais quente em direção ao corpo mais frio.

Gradiente de temperatura no espaço tridimensional

Na prática, a temperatura da viga varia em função das coordenadas no espaço. Estabelecendo um ponto qualquer ${\displaystyle M=(x,y,z)}$, teremos, em uma situação mais próxima da realidade, uma função ${\displaystyle T(x,y,z)}$que descreve a temperatura nas coordenadas de ${\displaystyle M}$.

Se nos deslocarmos em apenas um eixo do espaço, podemos escrever a função ${\displaystyle T}$ considerando esse deslocamento. Para uma variação da coordenada ${\displaystyle y}$, por exemplo, teremos a relação:$${\displaystyle T(x,y+dy,z)=T(x,y,z)+{\partial T \over \partial y}dy}$$Seguindo a mesma lógica, para um deslocamento entre um ponto qualquer ${\displaystyle M}$ e outro que chamaremos de ${\displaystyle M'}$, teremos um vetor ${\displaystyle {\overrightarrow {h}}={\overrightarrow {MM'}}=(h_{x},h_{y},h_{z})}$, havendo mudança da temperatura de ${\displaystyle T(x,y,z)}$ para ${\displaystyle T(x+h_{x},y+h_{y},z+h_{z})}$. Assim, teremos a relação:$${\displaystyle T(x+h_{x},y+h_{y},z+h_{z})=T(x,y,z)+{\partial T \over \partial x}(x,y,z)h_{x}+{\partial T \over \partial y}(x,y,z)h_{y}+{\partial T \over \partial z}(x,y,z)h_{z}}$$É possível simplificar essa relação definindo um vetor gradiente de temperatura ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}T}$, no qual cada componente indica a variação da temperatura em cada coordenada:$${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}T(x,y,z)={\biggl (}{\partial T \over \partial x}(x,y,z),{\partial T \over \partial y}(x,y,z),{\partial T \over \partial z}(x,y,z){\biggr )}}$$Assim, podemos representar a mudança de temperatura da posição ${\displaystyle M}$ para ${\displaystyle M'}$ por:$${\displaystyle T(M+{\overrightarrow {h}})=T(M)+{\overrightarrow {\nabla }}T(M)\cdot {\overrightarrow {h}}}$$sendo ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}T(M)\cdot {\overrightarrow {h}}}$ o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor ${\displaystyle {\overrightarrow {h}}}$.

Da mesma forma que no caso unidimensional, o vetor gradiente de temperatura terá orientação partindo do mais frio em direção ao mais quente.

Assim, no contexto de transferência de calor, teremos a Lei de Fourier aplicada ao sistema tridimensional, representada por:$${\displaystyle {\overrightarrow {q''}}=-k{\overrightarrow {\nabla }}T}$$Novamente, ${\displaystyle {\overrightarrow {q''}}}$ corresponde ao fluxo de calor e ${\displaystyle k}$ corresponde à condutividade térmica do material. Perceba que, como o calor flui da região de temperatura mais alta para uma de temperatura mais baixa, os vetores fluxo de calor e gradiente de temperatura terão sentidos contrários.[1]

Definição

Dois exemplos de gradiente.[2] Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas

O vetor gradiente ou simplesmente gradiente de um campo escalar ${\displaystyle f_{(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}}$ é determinado via ênupla ordenada definida por:

${\displaystyle {\mbox{grad}}\,f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},\cdots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle }$

ou, via notação de soma de Euler, por:

${\displaystyle {\mbox{grad}}\,f=\sum ^{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\hat {e}}_{i}}$

onde ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}}$ são os vetores unitários ortogonais que definem a base a partir da qual se coordena o espaço e ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ representa o respectivo operador derivada parcial.

Já na notação de soma de Einstein, onde índices repetidos no mesmo fator implicam somatório, para o campo escalar φ:

${\displaystyle {\mbox{grad}}\,\varphi =\partial _{i}\varphi \cdot {\hat {e}}_{i}}$

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}f_{(x_{1},\dots ,x_{n})}={\mbox{grad}}\,f}$

No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação poderá torna-se em:

${\displaystyle \nabla f={\mbox{grad}}\,f=D_{f}}$

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

Exemplo

Para a função escalar

${\displaystyle f_{\!\left(x,y,z\right)}=4x+10y^{2}-\sin z}$

tem-se, na base cartesiana ${\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}}$

${\displaystyle {\mbox{grad}}\,f={\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial (4x+10y^{2}-\sin z)}{\partial z}}{\hat {k}}}$

que fornece por resposta a ênupla

${\displaystyle {\vec {\nabla }}f=\left\langle 4;20y;-\cos z\right\rangle }$

ou explicitamente

${\displaystyle {\vec {\nabla }}f=(4){\hat {i}}+(20y){\hat {j}}+(-\cos z){\hat {k}}}$

para qualquer ponto definido pelas coordenadas ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$, restando apenas a substituição dos respectivos valores x, y e z na expressão acima.

Expressões

Para todo campo escalar ${\displaystyle f}$ diferenciável em função do espaço cartesiano ${\displaystyle {\vec {r}}=\left\langle x,y,z\right\rangle }$ temos que:

${\displaystyle \nabla f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right\rangle }$

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial {\vec {r}}}}}$

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

Gradiente da função em 2-D f(x, y) = xe [^- (x² + y²)] é representada graficamente plotada como setas azuis

${\displaystyle \nabla f={\frac {df}{dx}}}$

Propriedades

Linearidade

O gradiente é linear:

${\displaystyle \nabla \left(\alpha f+\beta g\right)=\alpha \nabla f+\beta \nabla g\qquad \left(\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ^{2}\right)}$

Onde ${\displaystyle \mathbb {F} }$ é um corpo constante.

Lei de Leibniz

O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:

${\displaystyle \nabla \left(f\cdot g\right)=f\nabla g+g\nabla f}$

E na divisão:

${\displaystyle \nabla \left(f/g\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g^{2}}}\qquad \left(g\neq 0\right)}$

A inclinação da função f (x, y) = - (+ cos²x cos²y)² descrito como um campo de vectores projetada no plano inferior

Ortogonalidade às curvas de nível

O vetor gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja ${\displaystyle f(x\,,y)}$ uma função definida em ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto ${\displaystyle C:\{(x,y)\in D|f(x,y)=k\}}$ onde x e y são funções de um parâmetro t tal que ${\displaystyle x(0)=x_{0}\,,y(0)=y_{0}}$.

Então, temos:

${\displaystyle f(x(t)\,,y(t))=k}$ (diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}=0}$

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em ${\displaystyle (x_{0}\,,y_{0})}$, logo os dois são perpendiculares entre si.

Teorema do gradiente

O gradiente é revertido pela integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

${\displaystyle \Delta f=f_{Q}-f_{P}=\int _{\gamma _{P}}^{\gamma _{Q}}\nabla f\cdot {\vec {d\gamma }}}$

Derivada direcional

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada de um campo escalar ao longo de um versor (no caso abaixo,${\displaystyle {\hat {u}}}$). Analiticamente, a derivada direcional de dada f(x,y,z) (função escalar), é a taxa de variação instantânea de f em relação à distância na direção e sentido ${\displaystyle {\hat {u}}}$.[3]

${\displaystyle \forall {\hat {u}}\quad D\!_{\hat {u}}\,f={\hat {u}}\cdot {\vec {\nabla }}f}$

Assim, podemos tirar algumas observações[4] a partir do produto escalar entre o gradiente de f e o versor ${\displaystyle {\hat {u}}}$:

1. Se o ângulo entre os vetores ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f}$ e ${\displaystyle {\hat {u}}}$, denotado por θ, for igual a zero. então teremos que a derivada direcional é máxima, e será igual ao módulo do gradiente de f(x,y,z), já que:

${\displaystyle |D\!_{\hat {u}}\,f|=|{\hat {u}}||{\vec {\nabla }}f|cos(0)=D_{\hat {u}}\,f|_{max}=|{\vec {\nabla }}f|}$

2. Se o ângulo θ for igual a ${\displaystyle 180^{o}}$, então a derivada direcional terá seu valor mínimo e igual a menos o módulo do gradiente de f(x,y,z):

${\displaystyle |D\!_{\hat {u}}\,f|=|{\hat {u}}||{\vec {\nabla }}f|cos(180)=D_{\hat {u}}\,f|_{min}=-|{\vec {\nabla }}f|}$

3. Se f(x,y,z) representar uma curva de nível em que f(x,y,z) = k, onde k é uma constante, e se o vetor ${\displaystyle {\hat {u}}}$ for tangente à tal curva de nível, então o valor da derivada direcional é nula, pois ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f}$ será perpendicular a ${\displaystyle {\hat {u}}}$, e normal à curva de nível. Neste caso:

${\displaystyle D_{\hat {u}}f={\hat {u}}\cdot {\vec {\nabla }}f=0}$

Sistemas de coordenadas

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

Coordenadas cartesianas

${\displaystyle \nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {e}}_{y}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}}$

Para coordenadas espaciais x, y e z.

Coordenadas cilíndricas circulares

${\displaystyle \nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}}$

Onde ${\displaystyle \rho }$ representa a distância ao eixo z, ${\displaystyle \phi }$ é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

Coordenadas esféricas

${\displaystyle \nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {e}}_{\theta }+{\frac {1}{rsen\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }}$

Onde ${\displaystyle r}$ representa a distância à origem, ${\displaystyle \theta }$ é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e ${\displaystyle \phi }$ é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.

Gradiente na física

O conceito de gradiente na física está fortemente relacionado aos conceitos de campo conservativo e de função potencial, de tal forma que também na matemática se define campo vetorial conservativo.[4]

Na física campos conservativos são campos que conservam a energia do sistema, isto é, campos onde não há dissipação de energia.

A função vetorial ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ é um campo vetorial conservativo se existe uma função escalar ${\displaystyle \varphi }$, chamada função potencial, tal que: ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{cons}=\nabla \varphi }$. Sendo assim, dada uma função potencial ${\displaystyle \varphi (x,y,z)}$ ou uma função potencial do tipo ${\displaystyle \varphi (r)}$, basta calcular o gradiente para encontrar o campo vetorial conservativo associado a ${\displaystyle \varphi }$.

Como ${\displaystyle \varphi }$é uma função de x, y, z então:

${\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{cons}(x,y,z)={\partial \varphi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \varphi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \varphi \over \partial z}{\vec {k}}}$

Se ${\displaystyle \varphi }$é uma função implícita de x, y, z através de ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$, ou seja, ${\displaystyle \varphi (r)=\varphi (r(x,y,z))}$ é necessário usar a regra da cadeia para calcular o respectivo gradiente. Potenciais deste tipo são chamados de potenciais centrais.

Cálculo do gradiente de potenciais centrais

Muitos modelos de potenciais físicos são centrais, sendo assim de grande importância saber como realizar o cálculo deste tipo.

Através da regra da cadeia é possível ver que:

${\displaystyle {\partial \varphi (r) \over \partial x}={d\varphi \over dr}{\partial r \over \partial x}=\varphi \prime (r){\partial \over \partial x}{\sqrt {(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}=\varphi \prime (r)\left[{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}2x\right]}$

Levando em conta que ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ tem-se que:

${\displaystyle {\partial \varphi (r) \over \partial x}={\varphi \prime (r) \over r}x}$

Igualmente para as outras variáveis do gradiente:

${\displaystyle {\partial \varphi (r) \over \partial y}={\varphi \prime (r) \over r}y}$ e ${\displaystyle {\partial \varphi (r) \over \partial z}={\varphi \prime (r) \over r}z}$;

Assim, com a soma das três derivadas, temos que :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\varphi (r)=\varphi \prime (r){\hat {r}}}$

Esta última fórmula é a preferencial para quando se tem potenciais centrais, pois ela nos fornece o campo gradiente com apenas uma derivação.

Aplicabilidade em campos escalares

Há três leis empíricas conhecidas como Lei de Fick, Lei de Fourier e Lei de Ohm ás quais são expressas em termos de campos gradientes. A leis citadas regem os chamados "fenômenos de transporte" da Física. Sendo que a Lei de Fick rege o transporte de massa, a Lei de Fourier o do calor e a Lei de Ohm o de cargo.[4]

São expressas como:

${\displaystyle (1)\,{\vec {J}}(X,Y,Z,T)=-D{\bar {\nabla }}\rho (x,y,z,t)}$

${\displaystyle (2)\,{\vec {q}}(X,Y,Z,T)=-k{\bar {\nabla }}T(x,y,z,t)}$

${\displaystyle (3)\,{\vec {J}}(X,Y,Z,T)=-\sigma {\bar {\nabla }}\varphi (x,y,z,t)}$

Ao observar percebe-se que as três leis relacionam um campo vetorial com o gradiente de um campo escalar.

A (1) é a Lei de Fick que rege a difusão de substâncias em meios contínuos. A função vetorial indicada por ${\displaystyle {\bar {J}}}$ é chamada de densidade do fluido. ${\displaystyle {\bar {J}}}$ é um vetor na direção do escoamento e de módulo igual à quantidade de substâncias que atravessam uma unidade de área normal à direção do escoamento, na unidade de tempo.

Definição matemática:

${\displaystyle {\bar {J}}=\rho {\bar {\nu }}}$, em que ${\displaystyle \rho =\rho (x,y,z,t)}$ é o campo escalar que descreve a densidade do fluido, ${\displaystyle {\bar {\nu }}={\bar {\nu }}(x,y,z,t)}$ o campo vetorial que representa a velocidade do fluido. A constante D é chamada de constante de difusão e depende do meio.

A (2) expressão é chamada de Lei de Fourier e rege a condução térmica. A função vetorial indicada por ${\textstyle {\bar {q}}}$ é chamada densidade de corrente de calor.

Definição matemática:

${\displaystyle {\bar {q}}=(Q\div V){\bar {\nu }}}$, onde Q é a quantidade de calor, V o volume e ${\displaystyle {\bar {\nu }}}$ a velocidade de escoamento do calor. Sendo todas grandezas em função das coordenadas espaciais e e do tempo. A constante ${\textstyle k}$ é a condutividade térmica do meio.

A (3) expressão traduz a Lei de Ohm, sendo ${\textstyle {\bar {J}}}$ a densidade de corrente elétrica, ${\displaystyle \sigma }$ a condutividade elétrica e ${\textstyle \varphi }$ o potencial elétrico. A definição da função vetorial ${\displaystyle {\bar {J}}}$ é análoga à definição de densidade de corrente usada na Lei de Fick, só que aqui ao invés de ter transporte de massa temos transporte de carga.

Sendo estas leis, juntamente com a equação de continuidade, base para deduzir as equações de difusão, do calor e, no caso do escoamento estacionário, a equação de Laplace .

Noção intuitiva de gradiente

O gradiente é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento.[5]

Gradientes de tensão

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Ver também

• Teorema do gradiente
• Divergente
• Rotacional
• Degradê (Arte)
• Laplaciano

Referências

1. INCROPERA, Frank (2014). Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. [S.l.]: LTC 
2. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 19 de março de 2016 
3. Anton, Bivens, Davis, Howard. Irl, Stephen (2014). Cálculo Volume II. Porto Alegre: Bookman. pp. 960,961  |acessodata= requer |url= (ajuda) !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
4. Strauch, Irene. Análise Vetorial em Dez Aulas. [S.l.: s.n.] 
5. Pereira, Agnaldo Souza; Oliveira, Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de (1 de janeiro de 2007). «Cálculo II». Universidade do Estado do Amazonas. Consultado em 11 de dezembro de 2011  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)

Bibliografia

• Cálculo, George B. Thomas, (décima edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).
• Matemática para pais e filhos, Carol Vordeman, PubliFolha; Barry Lewis/Andrew Jeffrey/Marcus Weeks, São Paulo, (2011).

• Portal da matemática