Teste da comparação do limite

O teste da comparação do limite é um método para classificar séries quanto à convergência. Este teste é uma generalização do teste da comparação.

Teste da comparação por limite (simples)

Sejam ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}}$ e ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }b_{n}}$ séries de termos positivos. Então:

• Se ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=C}$, sendo ${\displaystyle C}$ um número e ${\displaystyle 0<C<+\infty }$, então:

ambas as séries divergem ou ambas as séries convergem.

• Se ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0}$, então:

a convergência de ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }b_{n}}$ implica a convergência de ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}}$.

• Se ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty }$, então:

a divergência de ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }b_{n}}$ implica a divergência de ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}}$;

Teste da comparação por limite superior

Sejam ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}}$ e ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }b_{n}}$ séries de termos positivos. Então:

• Se ${\displaystyle \limsup _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<+\infty }$, temos que:

a convergência da segunda série implica a convergência da primeira.

Demonstração

É claro que basta mostrar a segunda versão mais geral do teorema.

Do limite superior temos que existe um ${\displaystyle N}$ tal que

${\displaystyle a_{n}\leq (C+1)b_{n},~~\forall n\geq N}$

Aplique o teste da comparação para os somatórios a partir de N e o resultado segue.

Exemplo

Seja ${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n^{3/2}}}}$ e ${\displaystyle a_{n}={\frac {\ln {n}}{n^{2}}}}$.

Como ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\ln(n)}{n^{1/2}}}=0}$, temos que:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\ln n}{n^{2}}}}$ converge pois a série dos ${\displaystyle b_{n}}$ é uma série harmônica generalizada que converge pelo teste da integral.