Matriz anti-hermitiana

Em álgebra linear, uma matriz quadrada com entradas complexas é dita anti-hermitiana ^(português brasileiro) ou anti-hermítica ^(português europeu) se sua conjugada transposta é a negativa da matriz original.[1] Isto é, a matriz ${\displaystyle A}$ é anti-hermitiana se satisfaz a relação

${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$

para todo ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle j}$, onde ${\displaystyle a_{ij}}$ é o elemento na linha ${\displaystyle i}$ e coluna ${\displaystyle j}$ de ${\displaystyle A}$, e a barra superior denota o complexo conjugado.

Matrizes anti-hermitianas podem ser entendidas como versões complexas de matrizes antissimétricas, ou como análogo matricial de números puramente imaginários.[2] O conjunto de todas as matrizes anti-hermitianas ${\displaystyle n\times n}$ forma a álgebra de Lie ${\displaystyle u(n)}$, que corresponde ao grupo de Lie U(n). O conceito pode ser generalizado para incluir transformações lineares de qualquer espaço vetorial complexo com uma norma sesquilinear.

Notar que o adjunto de um operador depende do produto escalar considerado sobre o espaço real ou complexo ${\displaystyle n}$ dimensional ${\displaystyle K^{n}}$. Se ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ denota o produto escalar sobre ${\displaystyle K^{n}}$, então afirmar que ${\displaystyle A}$ é anti-adjunta significa que para todo ${\displaystyle u,v\in K^{n}}$ tem-se ${\displaystyle (Au|v)=-(u|Av)\,}$.

Exemplo

Por exemplo, a seguinte matriz é anti-hermitiana

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-i&2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}}$

pois

${\displaystyle -A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}}$

é o transposto conjugado de ${\displaystyle A}$.

Referências

1. Horn & Johnson (1985), §4.1.1; Meyer (2000), §3.2
2. Horn & Johnson (1985), §4.1.2

Ver também

• Matriz hermitiana
• Matriz transposta conjugada
• Matriz normal
• Matriz antissimétrica
• Matriz unitária

Bibliografia

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, ISBN 978-0-521-38632-6, Cambridge University Press .
• Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, ISBN 978-0-89871-454-8, SIAM .